王慧敏

摘要：本文使用格子Boltzmann方法对（3+1）维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的孤波进行数值模拟研究。构建了（3+1）维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的格子Boltzmann模型，并进行了数值实验。数值结果表明，格子Boltzmann方法是求解（3+1）维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的有效工具。

关键词：（3+1）维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程;格子Boltzmann方法;数值模拟

1 引言

修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程出现于修正KdV方程，是等离子体物理、非线性光学、流体力学等物理分支分析物理现象非线性传播的重要模型[1]。近年来，学者们关于非线性偏微分方程孤波解的构造进行了许多研究，也使用改进的扩展直接代数法对修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的孤波进行了精确求解。然而精确解的求解往往很困难，因此方程的数值研究就十分必要了。本文拟对（3+1）维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的孤波解进行数值模拟，使用的方法是近三十年发展起来的一种全新的数值方法——格子Boltzmann方法.本文考虑的（3+1）维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程形式如下：

（1）

2 基于格子Boltzmann模型恢复宏观方程

设为时刻t时位置X处粒子的分布函数，为相应的平衡态分布函数.在粒子“质量”局部守恒的假设下，分布函数 满足格子Boltzmann方程

（2）

结合Taylor展开，Chapman-Enskog展开以及多尺度展开等技术，可以得到不同时间尺度的系列偏微分方程[2].

为了恢复出宏观方程，需要选择合适的平衡态分布函数的矩形式。首先定义宏观量如下：

;（3）

根据平衡态分布函数的守恒条件，可知

;（4）

设平衡态分布函数的矩：

（5）

（6）

选择3维6bit格子，由（4）-（6）计算可得平衡态分布函数的表达式.再由系列方程可以得出方程（1）的近似方程，其中E2是二阶误差。

（7）

通过误差分析，可得

（8）

3 数值算例

下面利用构建的格子Boltzmann模型对（3+1）维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的孤波进行模拟。

初始条件为：

（9）

其中，.

边界条件为：

（10）

其中，，，是边界点。

本例中计算区域为，各参数取值为格子数.数值结果如图所示。图1给出了t=0.5时的（3+1）维孤波解的情形，图2呈现了t=0.5时用平面x=0去切（3+1）维孤波解得到的二维孤波。图3给出了LBM解和精确解[1]在t=0.5时的对比图，y=0，z=0，图4给出了此时的误差曲线图。可以发现，LBM解与精确解基本取得了一致，数值结果可以接受。

4 结论

本文考虑了（3+1）维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的格子Boltzmann模拟问题，构建了一个格子Boltzmann模型。通过为平衡态分布函数选择合适的矩形式，宏观方程得到恢复。对模型进行误差分析，结合算例对该方程描述的3维孤波进行了数值模拟。结果表明，LBM可以用来计算（3+1）维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程，这对进一步探讨类似的偏微分方程及更复杂的孤波现象具有潜在意义。在未来工作中，我们可以考虑提高模型精度。

参考文献

[1]Lu DC， Seadawy AR， Arshad M， Wang J. New solitary wave and their solutions of （3+1）- dimensional nonlinear extended Zakharov-Kuznetsov and modified KdV-Zakharov-Kuznetsov equations and their applications applications[J]， Results in Physics，2017， 7：899-909.

[2] Wang HM. Numerical simulation for the solitary wave of Zakharov–Kuznetsov equation based on lattice Boltzmann method[J]， Applied Mathematical Modelling， 2017，45：1–13.

基金項目

吉林省教育厅项目（批准号：JJKH20190723KJ）;吉林省科技厅项目（批准号：20180101344JC）。