刘 娜， 李 松， 余志恒

（1.成都工贸职业技术学院通识教育学院，四川成都611731； 2.西南交通大学茅以升学院，四川成都611756；3.西南交通大学数学学院，四川成都611756）

早在百年以前，Babbage［1-2］、Abel［3］等就开始了迭代根的研究.随着动力系统理论的深入发展，多年来这一课题一直被人们广泛关注.设φ：E→E是集合X到自身的一个映射，称φ是一个已知映射F：E→E的n次迭代根，如果φ和F满足函数方程

例如，φ（x）：＝x2+2 是 F（x）：＝ x4+4x2+6 的二次迭代根.

广义的说，迭代根事实上是一种特殊的迭代，即分数次迭代.由于它涉及到嵌入流问题，映射迭代根的研究更加引人入胜.1950 年，Isaacs［4］完成了一个奠基性的工作，即给出了抽象集上自映射的迭代根存在的充分必要条件.关于复函数，在Koenigs［5］局部结果的基础上，1950年，Kneser［6］做出了整函数ez的二次迭代根的全局结果，之后Rice等［7］对复函数做了进一步的结果.关于实函数，1968年及1990年，Kuczma等出版了他的专著［8 -9］，系统的介绍了单变量函数方程，其中不仅研究了满足某些特殊方程的函数类，还对区间上严格单调连续函数的迭代根给出了一些很好的结果.关于迭代根的更多进展，可以参考文献［10-15］.

特别的，如果F：＝id，（1）式被称作Babbage方程［1］，是由 Babbage 在 1815 年第一次提出来的，他告诉我们对于Babbage 方程的任意解φ，存在可逆函数h，使得与φ拓扑共轭的函数h-1οφοh亦为方程（1）的解.1916 年，Ritt［16］讨论了 Babbage 方程的一类实连续解，并对其进行了分类.1980 年，McCarthy［17］得出了Babbage方程在迭代次数为奇数时无非平凡的连续解，而迭代次数为偶数时，其连续解必定是迭代次数为2 时方程的连续解的结论，此外，他还举例讨论了Babbage 方程的不连续解.更多针对一维Babbage 方程可微解、解析解的问题，可以参考文献［18 -20］.

本文在 McCarthy［17］工作的基础上，利用多项式代数理论并借助多项式代数系统Singular软件［21］进一步讨论了一维Babbage 方程的一类不连续解.此外，本文的主要部分研究了平面Babbage 方程的多项式解.将首先给出平面二次Babbage 方程的二次多项式解，并进一步证明该二次多项式解亦为n次Babbage 方程的解.最后，举例验证文中主要结果的正确性.

1 预备知识

本文主要讨论的是一维Babbage 方程的一类不连续解以及平面Babbage 方程多项式解的存在性问题.最终将其转化为考虑其所对应的代数簇是否非空的问题，即由一维Babbage 方程和平面Babbage方程所导出的多项式代数系统是否有解的问题，并且如果有解，有多少解，又如何求出并表示它的所有解.下面介绍代数簇和不可约分解的基本理论.

通俗地讲，代数几何学上的代数簇是多项式集合的公共零点解的集合.代数簇是经典（某种程度上也是现代）代数几何的中心研究对象.

定义 1［22-24］设 K 是一个域并且 f1，f2，…，f s是环 K［x1，x2，…，xn］中的有限多个多项式.由多项式f1，f2，…，fs所定义的仿射代数簇（简称为代数簇）是如下集合

由以上定义可知，一个代数簇即为Kn的一个子集V，并且这个集合满足：存在有限个多项式，使得 V ＝ V（f1，f2，…，fs）.换句话说，代数簇 V（f1，f2，…，fs）⊂Kn就是Kn

中的包含有限个多项式方程的系统

的解的集合.当然，这个集合依赖于域Kn，例如，如果取 K ＝R，那么 V（x2+y2+1）＝Ø，但是取 K ＝C则不然.另外，不论取K为什么数域，V（x2+y2+1，x，y）＝Ø.

令 F：＝ ｛f1，f2，…，fs｝，并将系统（2）简记为F ＝0.易知 V（F）＝ V（〈F〉）.设理想〈F〉的 Gröbner基［22-24］为 G，由文献［23］定理 1 知道〈F〉＝ 〈G〉，进一步，有 V（〈F〉）＝V（〈G〉）.因此，F ＝0 的解集由多项式集合F所生成的理想唯一确定，它的研究可以转化为相应理想的 Gröbner 基的研究.根据Hilbert 弱零点定理（参见文献［23］的定理1.3.10），F ＝0 无解当且仅当 1∈〈F〉.可以通过计算 F ＝0 的约化 Gröbner 基来判断 1∈〈F〉是否成立，并进一步判断F ＝0 是否有解.事实上，通过计算约化Gröbner基，总可以判定一个多项式代数系统是否有有限个解，并在解的个数有限的情况下将其全部表示出来.这就需要进一步考虑代数簇的不可约分解.

在介绍代数簇分解的相关理论之前，首先讨论这样一个例子.考虑理想 I ＝ 〈x3y3，x2y2〉，显然，它的代数簇V：＝V（I）是另外2 个代数簇的并集，即V ＝ V1∪V2，其中，V1是平面 x ＝ 0，V2是直线｛（x，y，z）：y ＝0，z ＝0｝.从几何的角度，可以清楚的看到V1和V2不能再分解为更小的代数簇的并，这里把V ＝V1∪V2称作不可约代数簇.

定义2［22-24］非空代数簇V⊂Kn被称作是不可约的，如果对于另外两个代数簇 V1和 V2，V ＝V1∪V2，仅当 V1＝ V 或 V2＝ V 时成立.

如前文所述任意理想〈xpyq，xrys〉，p，q，r，s∈N的代数簇是一个平面和一条直线的并集.一个自然的问题是：是否每一个代数簇都可以分解为一些不可约代数簇的并集？下面的引理给出了肯定的答案.

引理 1［23］令 V⊂Kn是一个代数簇.则 V 是有限多个不可约代数簇的并集.

由引理1，对任意代数簇V⊂Kn，存在有限个不可约代数簇 V1，V2，…，Vm⊂Kn，使得 V ＝ V1∪V2∪…∪Vm.特别地，若对任意 i≠j 都有 Vi⊈Vj，则称V1∪V2∪…∪Vm为V的极小不可约分解.

引理 2［22，25］每个代数簇 V⊂Kn都有一个极小不可约分解

若不计Vj的次序，这个分解是唯一的.

对于域 K 的特征为 0 时，1988 年，Gianni等［26］给出了第一个关于代数簇极小不可约分解的有效的可执行算法.1996 年，Shimoyama 等［27］提出了一种由Gröbner基理论实现的算法.这些算法均可在计算机代数系统Maple和Singular中实现.

2 一维情形

文献［17］对一维Babbage 方程的连续解给出了完整的讨论，并在文章的最后举例说明一维Babbage方程存在不连续解.本节将讨论Babbage 方程的一类不连续解，即有理函数解.从分式线性函数开始，经过简单的计算有如下结果：

定理 1设其中 a，b，c，d∈C，a2+b2≠0，c2+d2≠0，a2+c2≠0，b2+d2≠0，b2+c2≠0，（ax+b，cx+d）＝1，则

（i）f2＝ id 当且仅当 a ＝d ＝0，bc≠0；

（ii）f3＝ id 当且仅当 a2+bc +ad +d2＝ 0，bc（bc-ad）≠0；

（iii）f4＝ id 当且仅当 a2+ 2bc + d2＝ 0，bc（bc-ad）≠0 或 a ＝ -d，bc-ad≠0.

证明经过简单的计算易得结论（i）.关于结论（ii），计算 f3可得

令 f3（x）＝x，得出代数系统 F：＝｛f1，f2，f3｝，其中

运用Singular的库primdec.lib中的命令minAssGTZ计算F 的代数簇的极小不可约分解，并由此获得Babbage方程f3＝id存在分式线性函数解的条件：

1）b ＝ c ＝ a-d ＝ 0；

2）a2+bc+ad+d2＝0.

由条件 1）可得 f（x）＝ x 与 b2+c2≠0 矛盾，故f3＝id 当且仅当 a2+bc +ad +d2＝0，bc（bc -ad）≠0.同理易证结论（iii）.定理证毕.

注1定理1 的证明方法可推广到Babbage方程迭代次数n≥5 的情形.此外，还可运用上述方法找出Babbage方程的一般有理函数解，即形如

的解，其中

即所有正整数的集合，并且 ai，bi∈C，i ＝ 0，1，…，m，使得以及（Am（x），Bm（x））＝1.以 m ＝2 为例，运用定理 1 的证明方法，可得如下结论.

定理2Babbage方程f2＝id存在形如

的解，并且满足（4）式中系数条件要求，当且仅当下述条件之一成立：

事实上，定理1 的证明方法可以找出Babbage 方程中迭代次数≥3 的情形其有理函数解.

3 二维情形

对于平面线性多项式映射

以及平面二次多项式映射

的解.针对方程（5），寻找其形如φβ的解实际上就是找出ai和bi最简代数关系，使得φβ的n次迭代恰好等于F.实际上，为了找寻ai和bi最简代数关系，利用多项式代数理论［21，24］，有如下算法：

输入：平面多项式映射φβ和F.

输出：关于多项式φβ系数ai和bi的最简代数条件，使得（5）式成立.

过程如下：

步骤 2 设定项序为分次字典序，变元序为ai＞ bi，计算 PS 的 Gröbner 基 G，若 G ＝ ｛1｝，则输出：函数方程（5）无平面二次多项式解；否则，转步骤3.

步骤 3 设定项序为分次字典序，变元序为ai＞bi，计算 PS 的 Gröbner基 G，若 G ＝ ｛0｝，由 Hilbert弱零点定理［21，28］，运用 Singular 的库 primdec.lib中的命令minAssGTZ 计算PS′的代数簇的极小不可约分解，并由此获得函数方程（5）有多项式解关于多项式φβ系数ai和bi的最简代数条件.

步骤4 将步骤3 中获得的条件重新带入函数方程（5），并判定由这些条件所确定的φβ是否为Babbage方程的解，以确定是否由增根，最终找出平面Babbage方程的平面二次多项式解.

作为上述算法的应用，我们讨论当n ＝2 时，Babbage方程（5）的平面二次多项式解有：

定理 3当n ＝2 时，方程（5）存在平面二次多项式解，当且仅当下列条件之一成立：

证明运用上述算法的步骤1，设φβ是方程（5）的一个二次迭代根，计算的二次迭代并令＝ F，比较和F 的系数，得到如下代数系统（记为 APS）：

考虑到φβ是平面二次多项式，并结合T5和T16的形式，将代数系统APS分为如下3 个半代数系统

其中，3 个半代数系统中的每个多项式均为有理数域Q中的不可约多项式.为了避免冗余，仅针对半代数系统进行讨论，其他2 种情形可类似证明.

根据算法的步骤2 和3，设定项序为分次字典序，变元序为v ＞w ＞ai＞bi，计算出的Gröbner 基G：＝｛g1，…，g70｝，其中，

通过简单的计算可知，G ＝｛0｝.进一步，运用多项式代数系统Singular 中的命令eliminate 消去变元v、w 并得到一个仅含 ai和 bi的代数系统，记作APSG：＝｛h1＝0，…，h29＝0｝，其中

根据算法步骤3，运用Singular 的库primdec. lib 中的命令minAssGTZ 计算APSG 的代数簇的极小不可约分解，并由此获得函数方程（5）的二次平面二次多项式解，即定理中的Ξ5和Ξ6.最后，运用算法步骤4，对上述解进行验根并最终获得条件Ξ5和Ξ6的正确性.定理证毕.

定理3 给出了当迭代次数 n ＝2 时Babbage 方程（5）平面二次多项式解，实际上，根据文献［29］中定理3.1，当迭代次数n ＞2 时，上述结论仍成立.

推论 1对任意 n≥2，n∈N，方程（5）存在平面二次多项式解，当且仅当条件Ξ1，Ξ2，…，Ξ6之一成立.

注2实际上，在电脑内存允许的情况下，算法可推广到计算Babbage方程（5）的平面高次多项式解.

4 应用举例

由条件Ξ6可得

经过简单的计算易得

同理可计算出其余几个条件所对应的φβ，且均满足上式.

致谢成都市工匠文化研究中心项目（2020ZC17）对本文给予了资助，谨致谢意.