仝 荣， 胡卫敏

（伊犁师范学院数学与统计分院，新疆伊宁835000）

0 引言

近年来，研究脉冲边值问题的文章很多［1-7］，尤其是奇异与非奇异正解存在性的问题.在没有脉冲的情况下，建立存在性问题的一个普遍技巧是Krasnoselskii’s锥不动点定理，且大多文献只讨论了整数阶半正边值问题正解的存在性［1，4-5，8-10］，而对于分数阶半正边值问题所得结果［4，8］较少.本文讨论分数阶奇异半正脉冲微分方程边值问题解的存在性.

文献［1］研究了非线性分数阶微分方程边值问题

文献［2］研究了非线性分数阶微分方程半正边值问题

文献［3］研究了非线性奇异半正微分方程二阶脉冲Dirichlet边值问题

多重正解的存在性，其中，μ ＞0 是常数，非线性项f可能在y ＝0 处具有奇性.

受以上文献的启发，研究分数阶奇异半正脉冲微分方程边值问题

正解的存在性.其中，2 ＜ α ＜ 3，f：［0，1］×［0，+∞）→［0，+∞）是连续函数为标准的Captuo分数阶微分.其脉冲项为其中分别是 u（t）在 t ＝ tk处的右极限和左极限分别是 u′（t）在 t ＝ tk处的右极限和左极限分别是 u″（t）在 t ＝ tk处的右极限和左极限.非线性项f可能在y ＝0 处具有奇性.

为了方便，引入下列记号：J ＝ ［0，1］，0 ＜ t1＜t2＜ … ＜tk＜ … ＜tm＜1，令 t0＝0，tk+1＝1，有

1 预备知识

定义 1.1［1］称 β∈C［0，1］是方程（1）的一个下解，如果β满足

定义 1.2［1］称 γ∈C［0，1］是方程（1）的一个上解，如果γ满足

引 理 1. 1［1］（Arzela - Ascoli 定 理）H ⊂PC（J，R）是相对紧的，当且仅当任何函数 u（t）∈H 在J 上一致有界，在 Jk（k ＝1，2，…，m）上是等度连续的.

引理 1.2［1］（Leray -Schauder 不动点定理）假设K为Banach 空间E 上的一个凸集，Ω为K 的一个相对开子集，0∈Ω，映射 A：→K 为一个紧算子，则有：

（A1）A在上有一个不动点；

（A2）存在x∈∂Ω，0 ＜ λ ＜1，使得 x ＝ λA（x）.

引理 1. 3［4］令 α ＞ 0，如果 u ∈C［0，1］∩L（0，1），则分数阶微分方程有唯一解 u（t）＝ c0+c1t +c2t + … +cN-1tN-1，ci∈R，i ＝1，2，…，N，N ＝ ［α］+1.

引理 1.4［4］若 α ＞0，u（t）∈C［0，1］∩L′（0，使得

其中N是大于或等于α的最小整数.

定义 1.3［5］函数 f：（0，+ ∞）→R 的 α（α ＞0）阶Riemann-Liouville积分定义为

其中右边是在［0，+∞）上逐点定义的.

引理 1.5令 h∈C［0，1］，且2 ＜ α ＜3，则分数阶微分方程

2 主要结果

定义算子 T：PC（J，R）→PC（J，R）.

定理2.1若u是（1）式的一个正解，则存在2个正常数 r 和 R，使得 b1+ rρ（t）≤u（t）≤b2+Rρ（t），这里

证明由于 u∈C［0，1］，存在 M′ ＞0，对∀t∈［0，1］，使得｜u（t）｜≤M′.

令

定理2.2假设下列条件成立：

（H1）存在正常数 Li＞ 0（i ＝ 1，2，3，4），使得｜f（t，u）｜≤L1，｜Ik（u）｜≤ L2，｜Qk（u）｜≤ L3，｜Jk（u）｜≤L4；

（H2）f：（0，1）×（0，+∞）→R 连续不减，且存在函数 e（t）∈C［0，1］，e（t）＞0，t∈（0，1），使得f（t，u）+e（t）≥0，（t，u）∈（0，1）× （0，+ ∞）；

（H3）对∀t∈（0，1），f（t，ρ（t））≠0，且存在一个正常数 μ ＞ 1，使得 kμf（t，u）≤f（t，kμ），∀0 ≤k≤1.

则方程（1）至少存在一个正解u.

证明

因此，T连续.

先证 β（t）＝ k1v（t），γ（t）＝ k2v（t）分别是（1）式的下解和上解，其中

由引理 1.5 知，v（t）是分数阶微分方程

的一个正解.

由定理 2.1 知，a1ρ（t）≤a1ρ（t）+b1≤v（t）≤a2ρ（t）≤a2ρ（t）+b2，t∈［0，1］.

因此

同理，可得

同理，可得

显然 β（t）＝ k1g（t），γ（t）＝ k2g（t）满足边值条件u（0）＝ u′（0）＝ u′（1）＝0.

因此，β（t）＝ k1v（t），γ（t）＝ k2v（t）分别是方程（1）的下解和上解.

下证边值问题

存在一个解，其中

由于函数 f（t，u）在 u 上连续不减，即∀u ∈C（［0，1］，［0，+∞］），有

因此，算子 T：C［0，1］→C［0，1］是连续的.

由Arzela-Ascoli定理知T是紧算子.因此，由Leray-Schauder 不动点定理知，T 有一个不动点u*，即方程（2）存在一个解u*.

最后证方程（2）存在一个正解.

由函数 f（t，u）连续不减知

因此，令 z（t）＝ γ（t）-u*（t），则

即 z（t）≥0，可得

同理，令 z（t）＝u*（t）-β（t），则

即 z（t）≥0，可得

因此，u*（t）是方程（2）的一个正解.