谷昱良，羿旭明

(武汉大学数学与统计学院，湖北 武汉 430072)

图像分割在目标检测与分类、跟踪运动目标、场景理解等领域起着关键性的作用，已成为计算机视觉领域重要研究内容之一。与其他图像分割模型相比，活动轮廓演化模型能够得到光滑且闭合的分割曲线，已经被广泛的应用到图像分割问题之中。活动轮廓演化模型可分为参数活动轮廓模型[1-2]和几何活动轮廓模型[3-10]。几何活动轮廓模型采用水平集方法，能够适应曲线拓扑结构变化，数值计算精度高、稳定性好[3]。其可以分为基于边缘的模型[4-5]和基于区域的模型[6-10]。基于边缘的模型利用图像边缘信息引导曲线朝着目标轮廓演化。基于区域的模型利用轮廓内部和外部区域的统计信息来引导曲线演化。CHAN和VESE[6]提出了基于区域的Chan-Vese (CV)模型，该模型利用图像全局灰度信息，对初始轮廓具有较强的鲁棒性且能够分割弱边界图像，但该模型是基于目标和背景是同质区域且平均灰度值相差较大的假设。

为了解决灰度不均匀图像的分割问题，众多学者从不同角度提出了一些有效的分割模型。文献[11-12]提出了分段平滑(piecewise smooth, PS)模型，但其计算效率较低。LI等[9]提出了局部二值拟合(local binary fitting, LBF)模型，利用高斯核函数将图像局部灰度信息融入到能量泛函中，可有效分割灰度不均匀的图像。受LBF模型的启发，ZHANG等[10]提出了局部图像拟合(local image fitting, LIF)模型并利用局部灰度信息分割图像。WANG等[13]指出LBF模型对初始轮廓位置和形状较为敏感，从而提出将全局灰度信息与局部灰度信息融合起来的局部与全局灰度拟合(local and global intensity fitting, LGIF)模型，增强了LBF模型对初始轮廓位置和形状的鲁棒性。LGIF模型中的局部能量项与全局能量项的权重系数为常数，很难人工选择，而且图像中不同像素点的局部能量项和全局能量项在能量泛函中应该占有不同的权重，这限制了LGIF模型的应用。为了灵活的组合局部能量项和全局能量项，文献[14]提出了局部对比度的概念，并利用局部对比度构造了权重可变的自适应权重系数。文献[15]利用图像梯度和演化曲线内外局部均值构造了随迭代次数而改变的自适应权重系数。

为了分割含有强噪声的图像，文献[16]将像素局部邻域内的灰度值与区域平均灰度值的差作为局部能量，构造了鲁棒分片常值(robust Chan-Vese RCV)模型。但是RCV模型对灰度不均匀的图像分割效果并不理想。为了解决灰度不均匀且含噪图像的分割问题，文献[17]提出基于熵的K均值聚类模型，该模型能够有效减少噪声对分割的影响。文献[18]把局部区域鲁棒统计(local region robust statistics, LRS)方法和基于局部相关熵的K均值(local correntropy-based K-means, LCK)方法结合起来，取得了很好的效果。文献[19]将深度学习方法与水平集方法结合起来，指出在一些医学图像分割领域，活动轮廓演化方法可以弥补深度学习方法的不足。本文在文献[14]的基础上，提出了新的权重自适应活动轮廓演化模型。

1 相关模型

1.1 Chan-Vese模型

基于Mumford-Shah[20]模型，CHAN和VESE[6]在假定原始图像I(x)由2个同质区域组成的前提下，提出了一种利用图像全局信息的活动轮廓模型。CV模型通过一个二值分段函数来刻画原始图像，其能量泛函为

其中，M1(φ)=H(φ)，M2(φ)=1-H(φ)，φ均为水平集函数；c1和c2分别为曲线内部和外部图像灰度值平均值，可以看出，c1和c2只与图像的全局信息有关；H(·)和δ(·)分别为Heaviside和Dirac函数；κ1，κ2和ν为大于0的常数，且为各能量项的权重系数。

在式(1)中，前2项为包含图像信息的能量项，其控制活动轮廓曲线向目标边缘移动，当活动轮廓曲线到达目标边缘时，能量泛函取得极小值。由于能量项只依赖图像的全局统计信息，故对活动轮廓初始化具有较强的鲁棒性，而且对噪声的影响也有一定的抑制作用。但是对于灰度值不均匀图像，计算得到的c1和c2将偏离原始图像的灰度值，导致模型误差较大。所以CV模型对灰度分布不均匀的图像分割能力较差。

1.2 LBF模型

为了解决灰度不均匀图像的分割问题，LI等[9]提出了一种基于局部区域信息的活动轮廓演化模型，该模型通过引入高斯核函数定义局部二值拟合能量。对于图像域中的任意一点x，其局部能量泛函的定义为

其中，λ1和λ2为大于0的常数；f1(x)和f2(x)分别为活动轮廓曲线内部和外部图像像素灰度值的拟合值；Kσ(u)为高斯核函数；σ＞0为控制局部区域大小的尺度参数。LBF模型的能量泛函项可定义

其中，L()φ为长度项；P()φ为水平集正则化项。ν和μ是大于0的常数。该能量包含图像像素的局部邻域信息，因此对灰度分布不均匀的图像可以进行有效分割。但是该模型对初始轮廓的大小和位置较为敏感，在迭代过程中容易陷入局部最优解，从而导致错误分割。而且LBF模型容易受到噪声干扰，对含噪图像分割能力较差。

1.3 LGIF模型

文献[13]将图像的全局与局部灰度信息组合起来，利用CV模型和LBF模型各自的优点，构建了如下LGIF模型。其能量泛函项为

其中，ω为取值在[0,1]间的常数权重系数。LGIF模型将产生过于依赖全局信息或局部信息的情况，常常会导致分割失败。

2 本文模型

在LGIF模型中，ω在整个图像区域内为常数，模型泛函能量项中局部能量和全局能量的比例相同。但是实际上靠近目标边缘位置时局部能量项所占的比例应该更重。本文将权重系数ω从固定的常数拓展为随图像位置信息变化的权重函数ω（x），从而根据图像自身信息自适应改变局部能量项与全局能量项在总的能量泛函中的比重。

2.1 图像边缘信息对全局和局部能量的影响分析

在活动轮廓曲线演化过程中，远离目标边缘的区域，如图1中P1点附近，该区域内像素灰度值变化较为缓慢，局部能量项中f1(x)和f2(x)几乎相等，所以仅仅依靠图像的局部信息，活动轮廓曲线演化速度较慢。所以在远离目标边缘的区域，应该增加全局能量项的权重系数。另一方面，在靠近图像目标边缘的区域，如图1中P2点附近。如果图像是灰度不均匀的，那么全局能量项中的c1和c2将会严重偏离目标和背景的真实灰度值，而局部能量项中的f1(x)和f2(x)却能较为准确描述目标和背景的像素灰度值[14]。所以在靠近图像目标边缘的区域，应该增加局部能量项的权重系数。经上述分析，图像的目标边缘信息是决定自适应权重系数大小的关键因素。一般依靠区域的模型虽然融合了全局区域信息和局部区域信息，却没有考虑图像边缘信息，本文将图像边缘信息融合到自适应权重系数ω（x）中。

图1 不同坐标的图像信息Fig. 1 Image information at different coordinates

2.2 基于小波变换的边缘信息刻画矩阵

文献[21]提出了基于小波变换的边缘信息刻画函数，使得在活动轮廓曲线演化过程中能迅速检测图像边缘，但是对于含噪声的图像，该边缘信息刻画函数容易产生虚假边缘，对噪声较敏感。为此，文献[22]对小波分解后的细节系数进行阈值处理，得到了对噪声具有鲁棒性的边缘信息刻画矩阵。本文利用小波变换和小波阈值去噪方法，构造对噪声不敏感并且包含目标边缘信息的自适应权重系数矩阵，具体步骤如下。

步骤1.对图像I(x)进行k层小波分解，得到近似系数Ak，水平、垂直和对角方向的细节系数Hi,Vi,Di,i=1,2,···,k。

步骤2.分别对小波细节系数矩阵Hi,Vi,Di,i=1,2,···,k的元素按式(5)进行硬阈值去噪处理，其阈值[23]为T，并得到处理后的系数矩阵,i=1,2,…,k。

步骤3.利用小波逆变换对近似系数Ak和细节系数矩阵进行重构得到去噪后的图像。

步骤4.对进行一层小波分解得到近似系数A，水平细节系数H，垂直细节系数V和对角方向细节系数D。将A，H，V，D进行线性插值得到与原图像大小相同的4组系数矩阵，构造包含图像边缘信息的梯度幅值矩阵为

步骤5.定义边缘信息的自适应权重系数矩阵ω(x)，即

其中，*为卷积运算符；Enorm(x)为矩阵E(x)的归一化矩阵。

2.3 模型描述与水平集格式

本文将图像的边缘信息融合到自适应权重系数矩阵中，可以有效的组合全局能量项和局部能量项。本文模型能量泛函为

在靠近目标边缘区域时，ω(x)接近于0，局部能量项权重较大。在远离目标边缘区域时，ω(x)接近于1，全局能量项权重较大。

接下来用两阶段法求解能量泛函的极小值。第一阶段，固定φ，求关于f1(x)，f2(x)，c1，c2的极小值，可得

第二阶段，固定f1(x)，f2(x)，c1，c2，利用变分法和梯度下降流，对水平集函数φ极小化能量泛函，得到水平集演化式为

2.4 数值算法

在数值实现时，本文采用正则化Heaviside函数Hε(x)和正则化Dirac函数δε(x)代替H(x)和δ(x)，即

采用有限差分法实现水平集演化式(11)的数值求解，对空间变量偏导数采用中心差分法，对时间变量偏导采用向前差分法。离散空间步长为h，离散时间步长为Δt，记第k次迭代得到的水平集函数为，得到如下演化离散迭代式为

本文算法的初始轮廓选取为

其中，c0>0，0Ω为初始轮廓内部。

其算法关于时间的迭代停止条件为两次零水平集的面积差小于某个阈值θ或者算法的迭代次数达到设定的迭代次数上限N。

数值算法实现步骤如下：

步骤1.初始化惩罚项系数ν，正则化系数μ，时间步长Δt，离散空间步长h，局部能量项核函数参数σ，权重系数构造中平滑参数α，阈值θ，最大迭代次数N。初始化水平集函数φ0(x) =φ(x,0)；

步骤2.将图像进行小波分解，根据式(5)处理小波细节系数；

步骤3.根据式(7)计算自适应权重系数矩阵ω(x)；

步骤4.根据式(9)~(10)计算m= 1,2；

步骤5.根据离散化的水平集演化式(16)演化水平集函数；

步骤6.检验是否满足终止条件，若不满足，则转至步骤4，若满足，则停止迭代；

步骤7.输出最终结果。

3 数值实验

为了验证本文模型对图像分割的有效性，选取不同类型的图像，并从以下几个方面验证本文模型的有效性：

(1) 对初始轮廓位置和形状具有更强的鲁棒性；

(2) 能够有效分割灰度分布不均匀且含噪图像；

(3) 能够分割多种类型的复杂图像。

数值实验时，本文选取Sym4小波进行3层小波分解，空间步长h=1，时间步长Δt=0.1，初始轮廓参数c0=2，局部能量项的核参数σ=3。LGIF、文献[14]和文献[15]模型的相关参数值均选取为默认参数值，具体可参考文献[13-15]。

3.1 模型与算法对初始轮廓位置的鲁棒性

分别选取不同初始位置的轮廓线，对比本文、LGIF、文献[14]、文献[15]模型的演化结果，如图2和图3所示。从图中可以看出，对于不同的初始位置与初始形状，本文模型都能有效分割图片中的目标区域，对初始位置和形状具有较强的鲁棒性。

图2 T型灰度不均匀图像的分割结果Fig. 2 Comparison results for a T-shaped image with intensity inhomogeneity

图3 脑部灰度不均匀图像的分割结果Fig. 3 Comparison results for a brain image with intensity inhomogeneity

3.2 灰度分布不均匀含噪图像的分割

首先选取灰度均匀的图像测试模型对含噪声图像的分割能力，如图4所示。其中第1行至第4行分别为加入方差为1，5，10和20的高斯噪声分割结果。由图可知，在灰度均匀的图像中，文献[15]和本文模型均对噪声具有较强的鲁棒性。

选取灰度分布不均匀的图像添加高斯噪声，如图5所示。其中每行和每列的含义与图4相同。从图中可以看出，对于灰度不均匀的含噪声图像，文献[15]模型不能有效分割目标。当噪声较小时，LGIF模型还能正确分割目标，但是随着噪声增大，LGIF模型的分割效果越来越差。而本文模型能够在含有噪声的情况下有效分割目标区域。

图4 灰度均匀含噪声图像的分割结果Fig. 4 Comparison results for a image with various levels of noise

3.3 模型和算法对复杂图像分割的有效性

为了检验模型的适用性，本文选取复杂图像即含有更多细节的图像进行分割实验，如图6和图7所示，其中图6为原始图像分割结果。图7为图6中图像添加方差为20的高斯噪声图像的分割结果。本文模型能够有效分割复杂图像，且对添加噪声的图像也有较好的分割能力。

图5 T型图像加入噪声后分割结果Fig. 5 Comparison results for a T-shaped image with intensity inhomogeneity and various levels of noise

图6 复杂图像的分割结果Fig .6 Comparison results for images with complex background

4 结束语

本文利用小波变换与小波阈值去噪方法，构造了对噪声不敏感的边缘信息刻画矩阵，继而构造了全局能量项与局部能量项的权重系数，使得能量泛函可以根据图像信息特别是边缘信息自适应调整权重大小。本文模型兼有CV模型和LBF模型的优点，同时又有效地刻画了图像的边缘信息。从数值结果可以看出，如何更有效地构造权重矩阵是模型改进的关键。