江西 朱文惠 许冬保

在高中物理学习中，重心是需要掌握的概念，质心并非学习的内容。然而，在解决物理问题的过程中，质心这一观念常常内化为学生自己分析力学问题的行为，自觉或不自觉地在运用。基于质心视角分析问题，思路清晰、明了，往往能化繁为简、化难为易。下面笔者结合实例，谈谈质心视域下力学问题的分析策略。

一、质心概述

1.质心与重心

在物理学上，质心是一个重要的概念，谈质心往往要谈到重心。我们知道，一个物体的各部分都受到重力的作用，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，即重力的等效作用点。该点叫做物体的重心。质心即质点系质量中心或质量分布中心，它集中了质点系的总质量。可见，质心与重心是两个不同的概念。例如，星际航行飞船离开地球，脱离地球引力范围，有意义的是质心，谈重力和重心没有意义。基于此，质心较重心更具普遍意义。

2.质心(重心)位置的确定

如上所述，质心与重心均具有等效意义，且均不同于数学上的几何点。对于重力均匀分布的空间，质心与重心重合。以下仅讨论两者相重合的情形。

以我们熟悉的重心为例，关于重心位置的确定，方法很多。如由悬挂法确定薄板类物体的重心位置；质量分布均匀且具有规则几何形状的物体，其重心位置在几何中心；对几个质点构成的系统，系统的重心位置在数学上是由质量为权的加权平均方法求出。以质点质量平面分布为例，先建立坐标系，各质点的质量为mi，坐标为(xi、yi)，其中i=1、2、3…n。则重心(质心)坐标计算公式为

二、表征质心的物理量

质心是在物体运动中具有特殊地位的假想质点，其运动服从质心运动规律。下面以两个质点构成的系统为例，谈谈表征质心的三个物理量。

1.质点到质心的距离

两个质点构成的质点系，质心C必在这两个质点的连线上。设两个质点的质量分别为m1、m2，间距为l，沿它们的连线设置x轴，两质点坐标如图1所示，根据公式①，得质心坐标xC

该式为此质点系质心的位置坐标计算公式

若将坐标原点O设置在C上，则有m1x1+m2x2=0

引入间距l1=|x1|，l2=|x2|，便有m1l1=m2l2

由于l1+l2=l，因此

③式分别表示质量为m1、m2的质点到质心的距离计算公式。

图1

2.质心速度

对于②式，两边对时间取变化率(对时间求导数)，有

该式即质心速度计算公式

该式可理解为两个孤立质点作用后黏合在一起(相当于完全非弹性碰撞)的速度计算公式。

3.质心加速度

对于④式，两边对时间取变化率(或对时间求导数)，有

该式即质心加速度计算公式

由于力是产生加速度的原因，因此有

F=m1a1+m2a2=(m1+m2)aC⑥

表达式F=m1a1+m2a2，常被称作系统(或质点系)的牛顿第二定律形式。

表达式F=(m1+m2)aC表明：两质点(或质点系)质心的运动与一个质点的运动相同，该质点的质量等于两质点(或质点系)的总质量，作用于该质点的力等于作用于两质点(或质点系)所有外力的矢量和。该规律在理论上称为质心运动定理。

特别地，当合外力为零时，aC=0，表明质心处于静止或匀速直线运动状态。

三、应用举例

1.小球运动论证

图2

【例1】如图2所示，台秤上放一个装有水的杯子，通过固定在台秤上的支架用细线悬挂一个小球，球全部浸没在水中，平衡时台秤的示数为某一数值。今剪断悬线，在球下落但还没有达到杯底的过程中，若不计水的黏滞阻力，试分析台秤的示数将如何变化？

【点评】将小球及等体积水球视为一个系统，研究系统质心的加速度，结合超重、失重知识推理、论证，可较方便地判断系统对台秤压力的变化情况。

2.链条运动等效

【例2】如图3所示，一条长为l的质量均匀分布的柔软链条，开始时静止放在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为x0。已知重力加速度为g，lx0)。

图3

如图4所示，平台上链条长度减小Δx，斜面上链条增加Δx。由于其他部分链条的质心未变。因此，系统重力势能的减少量等效于长度为Δx的链条由平台迁移至斜面上所减少的重力势能。建立方程时以质心(Δx长度之中点)运动来处理，即

图4

【点评】由于链条质量均匀分布，分析时将整条链条视为(等效)由两部分(不动的及运动的部分)构成，考虑系统质心的变化，给方程的建立带来了方便。

3.双星模型重建

【例3】如图5所示，双星A、B仅在相互间的万有引力作用下，绕球心连线的某点O做周期相同的匀速圆周运动。两星之间的距离为l，运动周期为T，引力常量为G。则

图5

(1)若已知A、B质量分别为m1、m2，求双星A、B的质心位置；

(2)若A、B质量未知，求双星A、B的质量之和。

(2)设双星A、B运动的轨道半径分别为r1、r2。由万有引力定律及牛顿运动定律，有

由几何关系有l=r1+r2

【点评】宇宙中孤立天体构成的系统，在相互之间的引力作用下，均绕质心做周期相同的匀速圆周运动。上述答案表明r1=l1，r2=l2，说明圆心O即质心。双星绕共同中心运动亦即双星绕系统质心运动。该现象正是质心运动定理的表现。

4.振动问题简解

【例4】如图6所示，质量均为m的两木块用劲度系数为k的轻弹簧连接起来，用两根绳子拉紧两物体，使弹簧压缩。某时刻将绳子烧断，试求两木块的振动周期。(不计一切摩擦阻力)

图6

【解析】初态时系统静止无初速度，绳子烧断瞬间，系统水平方向的合外力为零，因此系统的质心位置保持不变，图中质心位置在弹簧中点。根据对称性，两木块振动的周期相同。

【点评】由于系统的质心不变，因此可将双振子振动模型等效为两个相对质心的弹簧振子模型，通过模型转化，使复杂问题简单化。

5.两体问题另解

图7

【例5】如图7所示，在光滑的水平面上有一静止的物体M，物体M上有一光滑的半径为R的半圆弧轨道，最低点为C，A、B为同一水平直径上的两点。现让小滑块m从A点由静止下滑，求：

(1)分析小滑块m能否到达半圆弧轨道B点；

(2)物体M运动的最大位移。

【解析】(1)研究物体M和小滑块m组成的系统，在水平方向无外力作用，系统在水平方向动量守恒。小滑块m滑到右端两者水平方向具有相同的速度v，由动量守恒定律，有0=(m+M)v，即v=0。由于系统只有重力做功，系统的机械能守恒。因此，小滑块m能够到达半圆弧轨道B点。

图8

(2)如图8所示，由于系统的质心位置保持不变。因此，有

mx1=Mx2；2R=x1+x2

【点评】本题本质上是“人船模型”的迁移。分析中注意两点：其一，质心位置不变；其二，系统机械能守恒及水平方向动量守恒。问题(2)的传统解法是根据平均动量守恒定律来处理。

6.碰撞问题巧解

【例6】在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物块B。物块与左右两边槽壁的距离如图9所示，L为1.0 m。凹槽与物块的质量均为m，两者之间的动摩擦因数μ为0.05。开始时物块静止，凹槽以v0=5 m/s初速度向右运动，设物块与凹槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计，g取10 m/s2。求：

图9

(1)物块与凹槽相对静止时的共同速度；

(2)从凹槽开始运动到两者相对静止，物块与右侧槽壁碰撞的次数；

(3)从凹槽开始运动到两者相对静止所经历的时间及该时间内凹槽运动的位移大小。

【解析】(1)系统共同速度即质心速度，记为vC，水平方向系统动量守恒，有

mv0=2mvC

(2)在质心系中，选vC为正方向，A、B初速度分别为

vA=v0-vC=2.5 m/s，vB=-vC=-2.5 m/s

由于摩擦发热与参考系无关，由动能定理，有

解得n=13

物块与右侧槽壁碰撞的次数为6次。

质心做匀速直线运动，在时间t内质心位移为

xC=vCt=12.5 m

由于A、B质量相等，由图10可知，A的位移为

图10