广东 黄兴仲

旋转圆问题，由于其轨迹变化多样，学生在解决此类问题过程中难以抓住临界条件，致使解题无法继续进行。教学上常以PPT、几何模板、实物等形式辅助，但并不适合于考场环境下的求解。笔者在借鉴和分析的基础上，探索出一种只使用圆规作图的方式让旋转圆“跃然纸上”的办法，使此类问题迎刃而解。

一、原题展现

图1

【2017年全国卷Ⅱ第18题】如图1所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为

( )

【分析】解决此题的关键点在于画出粒子的运动轨迹草图，从而确定打到最远处粒子的位置。

图2

【解析】当粒子在磁场运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置最远(如图2)。

【困惑】本题的要点及难点在于如何画出粒子的运动轨迹图，从而确定打到最远处粒子的位置。

【前行】笔者经过查阅资料后发现，要画出粒子的运动轨迹图，有如下几种方式，一是采用自制圆纸板帮助学生理解该动态过程，二是采用PPT、几何画板等软件帮助学生理解动态过程。但这两种方法都只是适用于平常环境，在考场环境中学生无法有效利用工具画出粒子的运动轨迹图。笔者在借鉴和分析的基础上，认为在考场环境下，可简单地使用圆规作图画出草图，从而确定粒子的临界运动位置。

二、使旋转圆“跃然纸上”

1.旋转圆的基本知识

要使旋转圆“跃然纸上”，首先需要了解旋转圆的一些基本特点：

(2)粒子在磁场中能经过的区域，是以粒子源为圆心，以2R为半径的大圆。

2.旋转圆“跃然纸上”的步骤

在常规教学中，可以实物的形式，帮助学生进行分析，使学生建立起相关概念，为旋转圆“跃然纸上”的理解做好铺垫。根据旋转圆的基本知识，实现旋转圆“跃然纸上”的基本步骤为：

(1)画出以粒子源为圆心，2R为半径的大圆(以下称为轨迹圆)；

(2)画出以粒子源为圆心，R为半径的圆(以下称为圆心圆)；

(3)在圆心圆上任意定一点，画出以该点为圆心，以R为半径的圆(以下称为基本圆)，并根据左手定则，画出在该点的速度方向；

(4)以该点为旋转定点，以速度方向为移动棒，使基本圆进行旋转，即可轻松作出临界状态的圆(如图3)。

图3 基本圆旋转示意图

三、应用

【例1】以2017年全国卷Ⅱ第18题的原题为例，先在原有的磁场圆中画出轨迹圆、圆心圆、基本圆并标出其速度方向(如图4)，然后以P点为旋转点，以速度方向为移动棒，推动着圆进行旋转，可知带电粒子距出射点最远的点为轨迹圆与磁场圆交点的地方(如图5)，即说明当粒子在磁场运动半个圆周时，此时打到圆形磁场的位置最远，从而为后续解答打下坚实的基础。

图4

图5

【例2】如图6所示，一粒子发射源P位于足够大绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则

( )

图6

A.能打在板上的区域长度是2d

【分析】设磁场方向垂直于纸面向里，粒子在纸面内向各个方向发射相同速率的粒子，粒子又要打在板上，要解决这类问题，首先需满足d<2R，其中d为P点到绝缘板的距离，R是圆的半径(如图7)。其次解决该类型问题，其基本步骤为：先确定临界状态圆的位置，而后确定该圆心。对于该题而言，主要集中两个方向，一是粒子打在板上的最远处，二是粒子到达板上时间的最值。

图7

1.求粒子打在板上的最远处

(1)确定临界状态圆的位置

通过先前的使旋转圆“跃然纸上”的步骤，则可判断出打在板上的两个临界圆的位置，分别为向右旋转至刚好与直线相切、向右继续旋转至通过轨迹圆与直线相交点的圆。

(2)确定圆心

图8

对于后者，只需连接固定点与轨迹圆和直线相交的点，刚好与圆心圆相交的点即为所要的圆心(如图9)。

图9

2.求粒子到达板上时间的最值

由于基本圆的半径均相等，故可通过圆心角、弧长或弦长进行灵活选择判断。当圆心角大于180°时，通常采用基本圆进行旋转，取其弧长最大或圆心角最大，而当圆心角小于180°时，采用弦长进行判断较为容易。基于此，可以作出粒子到达板上最长时间对应的圆(如图10)和最短时间对应的圆(如图11)。

图10

图11

【例3】如图12所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸面内的长度L=9.1 cm，中点O与S间的距离d=4.55 cm，MN与SO之间的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=2.0×10-4T，电子质量m=9.1×10-31kg，电荷量e=1.6×10-19C，不计电子重力。电子源发射速度v=1.6×106m/s的一个电子，该电子打在板上可能位置区域的长度为l，则

( )

图12

A.θ=90°时，l=9.1 cm B.θ=60°时，l=9.1 cm

C.θ=45°时，l=4.55 cm D.θ=30°时，l=4.55 cm

【分析】此题对比例2，难点在于板在转动，但其本质仍与例2中求解粒子打在板上的最远处的过程一样。

图13

图14

因θ不定，根据图14可知，要使电子轨迹与MN相切，则电子轨迹圆的圆心C落在与MN距离为r的平行线上(如图15)。

图15

四、启示