纪伟杰

(云南省设计院集团有限公司， 昆明 650228)

桩基础承载力高并能够显著减小沉降，是目前常见的基础形式[1-3]。工程中以往采用的多是等截面桩[4-5]，研究表明楔形桩的楔形侧面能够提高桩-土之间的摩擦力，从而提高桩基础的承载力[6-9]。近年来，在楔形桩的基础上，工程中开发出了一种新型桩——楔形管桩，该桩型结合了预制管桩[10]和楔形桩两者的优势，桩身质量易于控制、沉桩方便、节约材料且能够显著提高侧摩阻力，因此在地基处理等工程中具有广阔的应用前景。孔纲强等[11]通过透明土模型试验研究了桩端扩大头对扩底楔形管桩沉桩位移场的影响规律；曹兆虎等[12]基于透明土和PIV(particle image velocimetry)图像处理技术开展了楔形管桩沉桩及桩端后注浆的可视化模型试验；何杰等[13]采用PFC(particle flow code)2D软件模拟楔形管桩在黏土中的静压沉桩，分析了沉桩过程中桩周土径向位移及孔压的变化规律；陈昱锦[14]通过模型试验探究了楔形管桩的承载特性，发现楔形管桩的极限承载力较等截面管桩更大，且适当增大楔角可显著提高楔形管桩的极限承载力。

上述研究[11-14]较深入地揭示了楔形管桩的沉桩效应及承载特性，但目前而言，尚未有开展楔形管桩动力特性的研究报道，这也在一定程度上限制了楔形管桩的应用。

事实上，围绕等截面管桩的动力特性已开展了较多研究，并发展出一系列桩-土动力相互作用模型。丁选明等[15]采用Voigt模型模拟土体，研究了低应变条件下变阻抗薄壁管桩的动力响应；官文杰等[16]基于广义Voigt模型研究了低承台管桩的自由振动；王士革等[17]采用分数导数黏弹性模型模拟桩周土体，建立了管桩竖向振动的频域解；吴文兵等[18]采用Rayleigh-Love杆模型模拟管桩，基于平面应变模型研究了考虑横向惯性效应时管桩的动力响应；崔春义等[19]基于平面应变模型分析了桩身缺陷对管桩振动特性的影响规律；有学者[20-23]采用更为严格的三维轴对称模型建立了管桩振动的频域响应解析解。

为研究楔形管桩的动力特性，促进楔形管桩在工程中的应用，采用Laplace变换和阻抗函数递推的方法，建立楔形管桩纵向振动频域响应解析解。由于特殊的桩身结构，楔形管桩在沉桩过程中会产生较等截面管桩更为强烈的挤土效应，从而使得桩周土呈现明显的径向非均质性。针对这一问题，将桩周土划分为一系列环形圈层，通过圈层间剪切复刚度的传递得到桩-土界面的动力相互作用。根据所建立的理论解答，分析一系列桩身参数及挤土效应对低频范围内楔形管桩纵向振动复阻抗的影响。

1 数学模型

t为时间；r和z分别表示径向和竖向两个方向图1 桩-土动力相互作用模型Fig.1 Soil-pile dynamic interaction model

其中Gsb、μsb和vsb分别为桩底土的剪切模量、泊松比和剪切波速，dp为桩端的直径。将桩-土体系沿竖向划分为n段，自下而上分别标记为1，2，…，i，…，n；每一段均近似认为是均匀截面管桩，第i段桩内半径可表示为rci=(2i-1)Hptanθ/(2n)+rcb，该处理方法的精度可在划分数目n足够大时得以满足。同时，每一层桩周土均沿径向划分为m个环形圈层，自内而外分别为1，2，…，j，…，m，以考虑沉桩挤土导致的土体径向非均质性，同一土层各圈层内部土体近似认为径向均质，但不同圈层土体的性质可以不同，当圈层划分数目m足够大时可以满足精度要求。

2 方程的建立与求解

基于平面应变模型[25]的桩周土纵向振动平衡方程可表示为

(1)

设第i段楔形管桩的竖向位移为upi=upi(z,t)，则桩的纵向振动平衡方程可表示为

(2)

式(2)中：Epi、Api和ρpi分别为桩的弹性模量、横截面积和密度；upi为桩的竖向位移；fi(z,t)为桩周土对桩身侧壁的摩阻力。

2.1 边界条件和初始条件

楔形管桩顶部和底部的边界条件分别为

(3)

(4)

相邻桩段接触面上的位移连续条件和应力平衡条件可分别表示为

upi|z=hi=up(i+1)|z=hi

(5)

(6)

式中：hi为第i段桩底部与桩顶的距离。

桩-土体系的初始条件可表示为

upi|t=0=0

(7)

(8)

2.2 土体振动方程求解

求解式(1)可得：

Wij(r)=AijK0(ηijr)+BijI0(ηijr)

(9)

式(9)中：I0(ηijr)和K0(ηijr)为零阶修正Bessel函数；Aij和Bij为待定系数，可由边界条件确定。

桩周土相邻圈层间的剪应力可表示为

τij(rij)=-Gsij(1+iDsij)ηij[AijK1(ηijrij)-BijI1(ηijrij)]

(10)

桩周土相邻圈层间的剪切复刚度可表示为

(11)

根据式(9)，以及径向无穷远处土体位移为零的边界条件，可得

Bim=0

(12)

由式(11)、式(12)可得

(13)

式(13)中：rim为第i层第m圈层土体的内半径。

由式(11)及相邻圈层接触面上剪切复刚度相等的边界条件，可得

Ki(j+1)I0[ηijri(j+1)]}{2πri(j+1)Gsij(1+

iDsij)ηijK1[ηijri(j+1)]+Ki(j+1)K0[ηijri(j+1)]}

(14)

式(14)中：j= 1, 2, …,m-1；ri(j+1)为第i层第j+1 圈层土体的内半径。

将式(14)代入式(11)中，可得Kij与Ki(j+1)之间的迭代关系，进而可递推得到桩-土界面的剪切复刚度Ki1。

2.3 楔形管桩振动方程求解

式(2)中桩-土界面的摩阻力可表示为

fi(z,t)=Ki1upi

(15)

对式(2)进行Laplace变换，并结合初始条件式(7)、式(8)和式(15)，可得

(16)

式(16)中：vpi为第i段桩的纵波速；Upi为upi的Laplace变换形式。

式(16)的通解可表示为

(17)

第i段楔形管桩顶部的位移阻抗可表示为

(18)

式(18)中：φi=arctan[Zp(i-1)ti(ρpiApivpiλi)-1]，Zp(i-1)为第i-1段桩顶部的位移阻抗。

在此基础上，结合相邻桩段之间的边界条件进行阻抗函数递推，可得到桩顶位移阻抗为

(19)

Zpn可进一步表示为

(20)

式(20)中：Kp和Cp分别为Zpn的实部和虚部，表示桩顶动刚度和动阻尼。

3 参数分析

根据所建立的理论解答，分析一系列桩身参数(楔角、内半径、壁厚、桩长、纵波速)及挤土效应(挤土范围和程度)对楔形管桩纵向振动阻抗的影响。如无特别说明，桩-土参数取值如下：楔形管桩的长度、壁厚、楔角、桩端位置内半径、密度、纵波速分别为Hp=10 m、bp=0.1 m、θ=1°、rcb=0.15 m、ρp=2 500 kg/m3、vp=3 600 m/s；桩底土的密度、剪切波速、泊松比分别为1 800 kg/m3、100 m/s和0.4；桩周土的密度为1 800 kg/m3，剪切波速在最外圈层(未扰动区域)及靠近桩身的位置分别为100、150 m/s，在受扰动区域线性变化，挤土扰动范围rd=0.1 m。

3.1 对比验证

令楔形管桩内半径为零，则本文解可退化为实心楔形桩的解，将退化解与吴文兵等[26]的计算结果进行对比，结果如图2所示，由图2可知，两者吻合较好。

令楔角θ=0°，本文解可退化为等截面管桩解，将退化解与翟志明[27]的解答进行对比，结果如图3所示。由图3可知，两者吻合较好。通过上述对比，证明了本文解的合理性和精确性。

3.2 楔形管桩桩身参数的影响

分析楔形管桩的楔角、内半径、壁厚、桩长、纵波速等桩身参数对桩顶复阻抗的影响，结果如图4～图8所示。

图2 与实心楔形桩解的对比[26]Fig.2 Comparison with the solution for the tapered pile[26]

图3 与等截面管桩解的对比[27]Fig.3 Comparison with the solution for the equal-section pipe pile[27]

图4 楔角对楔形管桩桩顶复阻抗的影响Fig.4 Influence of the cone-angle on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

楔角对楔形管桩桩顶复阻抗的影响如图4所示。桩顶动刚度和动阻尼均随着楔角的增大而增大，但增大程度逐渐减小(尤其是动刚度)。上述规律表明，适当增大楔形管桩的楔角能够增强桩-土体系抵抗竖向变形和振动的能力，对工程是有利的，这也与静力分析的结论[14]相一致。

内半径对楔形管桩桩顶复阻抗的影响如图5所示，分析过程中，管桩壁厚和楔角保持不变，以桩端位置内半径的变化反映楔形管桩内半径的变化。桩顶动刚度和动阻尼均随着楔形管桩内半径的增大而增大，且这一规律在高频段更为明显。

图5 内半径对楔形管桩桩顶复阻抗的影响Fig.5 Influence of the inner radius on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

壁厚对楔形管桩桩顶复阻抗的影响如图6所示，分析过程中桩的外半径保持不变。由图6可知，在低频范围内，桩顶动刚度随着管桩壁厚的增大而逐渐增大，其增大速度逐渐减小，但在高频范围内则随着壁厚的增大而逐渐减小，且桩身壁厚越大，动刚度由增大转至减小的界限频率则越小。相比较而言，桩顶动阻尼的变化规律则比较简单，其随着管桩壁厚的增大而逐渐增大，且增大趋势逐渐趋缓。上述规律表明，当楔形管桩的壁厚达到一定程度后，通过继续增大壁厚来增强楔形管桩抵抗竖向变形和振动能力的效果有限。

图6 壁厚对楔形管桩桩顶复阻抗的影响Fig.6 Influence of the wall thickness on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

图7 桩长对楔形管桩桩顶复阻抗的影响Fig.7 Influence of the pile length on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

桩长对楔形管桩桩顶复阻抗的影响如图7所示。由图7可知，桩长的增大可导致楔形管桩动刚度及动阻尼的显著增大，且动刚度的增大程度较动阻尼更为明显；在一定情况下，可通过适当增大桩长的方式来提高楔形管桩抵抗竖向变形和振动的能力。

图8 桩身纵波速对楔形管桩桩顶复阻抗的影响Fig.8 Influence of the longitudinal wave velocity on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

桩身纵波速对楔形管桩桩顶复阻抗的影响如图8所示。由图8可知，桩身纵波速的增大会导致桩顶动刚度和动阻尼的增大；其中，动刚度的增大在中间频率段表现较为明显，动阻尼的增大则随着频率的增大而越加明显。图8也表明，通过采用高标号混凝土来提高桩身纵波速，并不能明显增强桩身抵抗竖向变形和振动的能力。

3.3 挤土效应对楔形管桩纵向振动特性的影响

楔形管桩在沉桩过程中会产生明显的挤土效应，从而导致桩周土的径向非均质性。分析挤土效应对桩顶复阻抗的影响，结果如图9、图10所示。

挤土范围对楔形管桩桩顶复阻抗的影响如图9所示。较大的挤土范围对应较大的桩顶动刚度及动阻尼，且动阻尼所受影响更为明显，表明挤土效应对提高桩-土体系抵抗竖向变形和振动的能力是有利的。

图9 挤土范围对楔形管桩桩顶复阻抗的影响Fig.9 Influence of the compacting range on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

挤土程度(即靠近桩身的土体剪切波速与最外圈层未扰动区域土体剪切波速的比值)对楔形管桩桩顶复阻抗的影响如图10所示，分析过程中挤土范围取0.1 m。楔形管桩桩顶的动刚度和动阻尼均随着挤土程度的增大而增大，表明桩-土体系抵抗竖向变形和振动的能力随之增强。

图10 挤土程度对楔形管桩桩顶复阻抗的影响Fig.10 Influence of the compacting degree on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

4 结论

基于考虑土体径向非均质性的剪切复刚度传递模型建立了楔形管桩纵向振动频域响应解析解，通过与已有解答的对比验证了解的合理性和精确性，在此基础上，分析了一系列桩身参数及挤土效应的影响。得出主要结论如下。

(1)适当增大楔形管桩的楔角能够显著增强桩-土体系抵抗竖向变形和振动的能力。

(2)随着楔形管桩内半径、壁厚、长度及纵波速的增大，桩顶动刚度(对壁厚而言在低频段满足)和动阻尼逐渐增大，但单纯通过增大楔形管桩壁厚、提高混凝土标号以增大管桩纵波速等方式来增强桩-土体系抵抗竖向变形和振动能力的效果有限。

(3)挤土效应能够增强楔形管桩抵抗竖向变形和振动的能力，且增强效果随着挤土范围和挤土程度的增大而更加明显。