康浩 宋新民 雷征东 高建 王再宙 付超

摘要：在油气田高效开发的过程中，受原始地层沉积作用或者后期储层改造措施等的影响，经常出现非均质双区复合油藏的渗流，对其非稳态参数求解方法的研究具有重要的实际价值。本论述以分离变量法为求解手段，考虑了物性参数不等的两区界面之间的流动，以第三类边界条件为例，将分离变量法成功推广到双区复合油藏渗流问题的求解中，有效求得了不同区域内压力随时间变化的精确解析解。既扩大了分离变量法的适用范围，也为日益复杂渗流问题的求解提供了重要的参考依据。

关键词：线性流;不稳定流;分离变量法;非均质;复合油藏

中图分类号：TE357.7

文献标志码：A

随着人类对能源需求的持续增长，如何合理高效地开发油气田成为了摆在科技工作者面前的重大课题。油气在地下的渗流，作为油气田开发工程的基础问题之一，其重要性不言而喻。由于受到成藏过程等因素的影响[1-3]，实际油藏都是非均质的，截止目前，已经有大量学者针对非均质油藏的渗流问题做出了非常深入细致的研究，有效指导了油气田的开发[4-7]。本论述以区域横向渗透率突变线性渗流的压力分布问题为研究对象，考虑不同渗透率地层界面之间的流动，建立了相应的渗流模型，并且运用分离变量法，并结合具体问题的特点，成功求解了该渗流问题的精确解析解，旨在为运用分离变量法求解复杂渗流问题提供一定的借鉴意义。

1模型建立

假定非均质复合油藏中，渗流情形如下：地层为水平地层，由渗透率分别为K1和K2的两个区域组成，各自的区间分别为0≤x≤x1，x1≤x≤x2，导压系数分别为h1和h2，初始压力分布分别是I1（x）和I2（x），考虑两个区域界面间的流动，不失一般性，假定各边界间满足一般的第三类边界条件。求t>0时，该复合油藏巾各区域的压力分布。

结合上述已知条件，参考渗流数学模型的建立方法[8-9]，则该问题的数学表述为：

2分离变量法

考虑到以上定解问题为渗流方程的齐次边值問题，故采用分离变量法求解。关于分离变量法的思想、求解步骤已经在很多文献中进行了论述[10-12]。为了便于求解问题，现总结它的求解过程如下：

（1）设所求的解p（x，t）以p（x，t）=X（x）T（t）的形式代入偏微分方程，针对x和t进行变量分离后，得到两个常微分方程。

（2）利用已知的p（x，t）的边界条件，导出X（x）所应满足的边界条件，从而得到所应满足的一个常微分方程特征值问题。

（3）通过求解特征值问题决定特征值λm以及相应的特征函数X（x）。

（4）决定相应的T（t）的形式。

（5）以∑cmXm（x）Tm（t）的函数叠加形式给出p（x，t），并将初始条件做对应展开，从而决定解的无穷级数表达式中的常数。

3模型求解

设p1（x，t）=X1（x）T1（t），p1（x，t）=X2（x）T2（t）代入上述控制方程、边界条件和衔接条件分离变量，得：

由以上式子可见，T1和T2最多只相差一常数因子，该常数因子可以吸收到X中去，故可令：

因而，分离常数λ1=λ1=λ=β2。于是，分离结果为：

式（16）为该复合油藏的本征值问题，由其可解得本征值βm和分段表示的本征函数：

式中的待定系数A1，B1，A2，B2和本征值β由其边界条件和衔接条件确定。

注意到式（16）中的边界条件与衔接条件只有4个，不能确定5个未知数，但由于本征函数只需在线性相关的函数中任意选择一个即可，在此不妨令某个不为零的系数A1=1，则有如下系数矩阵方程：

将式（31）-（36）的计算结果代入式（29）和式（30），即可将本征函数完全确定。再将式（29）和式（30）代入式（27）和式（28），即得分段表示的该双区复合油藏内的压力分布。

4结论

以平面双区复合油藏渗流为例，考虑了两区界面之间的流动，运用分离变量法的思想，注重衔接条件和边界条件的运用，有效地解得了不稳定渗流各个区域内压力随时间变化的精确解析解。研究扩大了分离变量法在油气渗流问题求解中的应用，有利于更好地分析油气田开发过程中储层的层内平面非均质性问题，也为求解相关复杂渗流问题提供了重要的依据。

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收稿日期：2020-05-30

基金项目：河北省教育厅科技项目资助（项目编号：QN2018158）;河北师范大学科技类基金项目资助（项目编号：L2017B21）

作者简介：康浩（1987 -），男，汉族，河北石家庄人，博士，讲师，主要研究方向：油气资源的开发与利用。