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例谈中位线的典型应用

2020-11-06于志洪

关键词:延长线位线平分

于志洪

一、证明两角相等

例1 如图l,已知四边形ABCD中,AB=CD,M,N分别是AD,BC的中点,延长BA,NM,CD,分别交于点E.F试证明∠BEN= ∠NFC.

证明:如图2,连接BD.取肋的中点H,连接MH,NH.

根据三角形中位线的性质,有MH∥AB,MH=1/2AB;NH∥CD,NH=1/2 CD.

所以∠BEN= ∠HMN、∠NFC= ∠HNM.又由AB=CD,可得MH=NH,所以∠HMN=∠HNM、故∠BEN=∠NFC.

点评:本题中的辅助线具有很强的技巧性,先把四边形分成两个三角形,再构造中位线.像这种利用过渡线段作中位线的方法常常见到,要加以重视.

二 证明两线段相等

例2 如图3,已知D是△ABC的BC边的中点.E,F是AC边上的两点,且AB=CE,AF=EFDF的延长线交BA的延长线于G.求证:AF=AG.

证明:如图4,连接BE.取BE的中点H,连接HD,HF.

则HD∥CE,且HD= 1/2CE;HF∥AB,且HF=1/2AB..

因AB=CE,故HF=HD,∠2=∠3.

又易知∠1=∠2,∠3=∠4,

∴∠1=∠4,AF=AG.

点评:当题设中有线段中点的条件时,常设法构造三角形中位线,以便利用三角形中位线定理,

三 证明线段的倍分关系

例3 如图5,AE为正方形ABCD中∠BAC的平分线.AE分别交BD,BC于F,EAC,肋相交于點O,求证:OF=1/2CE.

点评:本题还可用过O点作AE的平行线,过C点作OF或AE的平行线等方法证明.

四 证明两线段互相平分

例4 如图7,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,并且E,F,G,H不在同一条直线上,求证:EF,GH互相平分,

分析:要证EF和GH互相平分,根据图形只要证明四边形EGFH是平行四边形即可.而E,F,G,H分别为四边的中点,可以结合三角形的中位线定理证得EG∥BC∥HF,且EG=1/2BC=HF.

证明:略,

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