张义

一次函数刻画现实世界数量之间的变化关系，不等式则刻画现实世界数量之间的大小关系，它们联袂可以解决现实生活中的方案优化设计、投资费用评估、生产获利计算等问题，有关的试题也备受命题专家青睐，成为中考中一道亮丽的风景线.本文选取数例加以剖析，供大家参考.

例1 某厂现有A种金属70 t.B种金属52 t，计划用这两种金属生产M，N两种型号的合金产品共80 000套，已知生产一套M型号的合金产品需要A种金属0.6 kg，B种金属0.9 kg，可获利润45元;生产一套Ⅳ型号的合金产品需要A种金属1.1 kg，B种金属0.4 kg，可获利润50元，设生产N型号的合金产品x套，用这批金属生产这两种型号的合金产品所获的总利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围.

（2）在生产这批合金产品时，Ⅳ型号的合金产品生产多少套时该厂所获利润最大？最大利润是多少？

不等式组的解集是40 000 ≤x≤44 000.

∴ y与x的函数关系式是

y=5x+3 600 000（40 000≤x≤44 000）.

（2）因k=5>0，故y隨x的增大而增大.

∴当x=44 000时，有y最大=3 820 000.

即生产N型号的合金产品44000套时，该厂所获利润最大，最大利润是3 820 000元.

评注：利用一次函数解决最大利润问题，一般是根据题目中提供的条件选取一个与利润有关的变量，先列出关于这个变量的一次函数关系式.然后求出这个变量的取值范围（可以结合已知条件列出关于这个变量的不等式组进行确定）.虽然一次函数的图象是一条直线，但当自变量限定在某一范围内时，两个端点处的函数值就是其最值.根据一次函数的增减性便可确定最大值或最小值.

例 2康乐公司在A.B两地分别有同型号的机器17台和15台，现要把这些机器运往甲地18台，运往乙地14台.从A，B两地运往甲、乙两地的费用如下：

（1）如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y（元）与x（台）的函数关系式.

（2）请你为康乐公司设计一个最佳调运方案，使总的费用最少.最少的费用是多少？

解析：本题所提供的信息纵横交错.我们可以通过绘制图1来理清调运机器台数的情况.

（1） y=600x+500（17 -x）+400（18-x）+800（x-3）=500x+13 300.

（2）由（1）知，总运费y是关于x的一次函数，且k=500>0，故y随x的增大而增大.

∴该公司完成以上调运至少需要14 800元的运费，最佳的方案是：由A地调3台至甲地，14台至乙地：由B地调15台至甲地.

例3 某西瓜产地组织40辆汽车，装运A，B，C三种西瓜共200 t到外地销售，按计划，40辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种西瓜，且必须装满.根据下表提供的信息，解答后面的问题.

（1）设装运A种西瓜的车辆数为戈，装运B种西瓜的车辆数为y，求y与x的函数关系式.

（2）如果装运每种西瓜的车辆数都不少于10辆，那么车辆的安排方案有几种？请写出各种安排方案.

（3）若要使此次销售获利达到25万元，应采取哪个车辆安排方案？

解析：（1）由题意，装运A种西瓜的车辆数为x，装运B种西瓜的车辆数为y.则装运C种西瓜的车辆数为（40-x-y）.于是就有4x+5y+6 （40-x-y）=200，整理得y=40-2x.

（2）由（1）可知，装运A，B，C三种西瓜的车辆数分别为x，40-2x，x.

由题意得{x≥10. 解得10≤x≤15.

40-2x≥10

∴x的值是10，11，12，13，14，15.安排方案有6种，见表3.

（3）设销售利润为W（百元），则W=4x×16+5 （40-2x）x10+6xx12=2 000+36x.

由已知得2 000+36x≥2 500.故有x≥13 8/ 9

则x=14或x=15，故应选方案5或方案6.