何友国，田肖肖，袁朝春

（江苏大学 a.汽车与交通工程学院；b.汽车工程研究院，江苏 镇江 212013）

随着社会经济的高速发展，机动车辆保有量日益增加，城市机动化程度越来越高，各市区间联合发展越来越密切，交通安全、交通拥堵、环境污染等问题也随之日益突出。而智能交通系统（intelligent transporation system，ITS）能更为经济、有效地应对上述问题。作为智能交通系统的典型技术之一，协同式自适应巡航控制（cooperative adaptive cruise control，CACC）与传统的自适应巡航控制（adaptive cruise control，ACC）系统相比，不仅借助于车间信息交互技术把同一车道内跟随车辆连接成一维队列，直接获取前方车辆的运动状态，如位置坐标、航向、速度和加速度等；而且还可以通过车车协同控制策略，在保证跟车安全性的基础上，实现CACC系统更快的控制响应和更短的跟车间距，同时抑制跟随车辆的速度波动沿队列的传播放大，对提高交通安全性、减少交通能耗、提高交通通行效率发挥了重要作用。

CACC作为ACC系统的功能扩展，其相比于ACC的功能优势是增强了车辆跟车的安全性和稳定性。队列稳定性（string stability）：一维车辆队列是队列稳定的，当且仅当队列中的扰动沿队列传播过程中不被放大［8］。如果不满足队列稳定性，那么后车CACC系统的控制强度会逐车递增，从而降低驾乘人员的舒适性，严重时队列会失去安全性，从而发生追尾碰撞事故。文献［2-3］指出车辆队列异质性存在的因素，如通信拓扑结构、队列几何构型，建模不确定性和参数不确定性以及通信延迟等；然后分别对参数不确性和通信延迟下的异质车辆队列进行控制器的设计，而文献［2］只研究异质线性队列系统鲁棒稳定性的控制器求解方法，忽略了队列稳定性，同时仿真表明增大控制器增益虽能减少收敛时间，却易导致加速度的饱和；而文献［3］仅仅用相邻两车加速度的拉普拉斯变换评价队列稳定性，而忽略了跟车误差和相对速度的评价指标。文献［4-5］基于频域模型，分别提出队列稳定性的不同定义，进行仿真和试验验证；文献［4］建立线性匀质队列模型，在输入输出拉普拉斯变化的基础上提出线性级联系统LP队列稳定性的条件；文献［5］采用跟车距离定义队列稳定性传递函数，同时为了避免加速度过大影响乘坐舒适性，简单对加速度进行限制处理而忽略了系统的稳定性。文献［6］表明当队列几何构型采用恒定时距型时，异质车辆队列在前车跟随式结构下同样可以保证队列稳定性，但随着队列规模的增加，控制器的增益也会随之增加，从而容易导致执行器的饱和。文献［7-9］研究基于频域模型的匀质和异质队列稳定性。然而，由于约束的存在，上述文献并没有同时兼顾CACC系统的闭环稳定性和队列稳定性；现有的文献多是在频域中研究队列稳定性，但是时域中的研究依然很重要。

因此，本文将队列稳定性和执行器饱和作为饱和约束条件，建立单一车辆节点纵向动力学模型，基于最优控制和Riccati方程构造低增益状态反馈控制律，设计CACC系统控制器，在保证系统闭环稳定性的同时保证了队列稳定性；最后通过Matlab／Simulink进行仿真，验证队列协同巡航控制算法的有效性。

1 车辆队列节点运动学模型

1.1 车辆节点的纵向运动学

从控制角度，队列可视为由多个单一车辆节点，通过节点间的信息交互对车辆个体进行控制，进而相互耦合组成的一种动态系统［8］。因此本文将队列分解为多个子系统，即单一车辆节点，针对车辆节点设计分布式控制器以实现整体性能要求。

如图1所示，队列中有m辆车，di是车辆i保险杠与其前方车辆i-1后保险杠的距离，vi车辆i的速度。队列几何构型能够改善队列稳定性和安全性［9］。本文选取恒定时距型的队列几何构型。队列中每辆车的控制目的之一是以期望的车间距de，i跟随前车：

其中：τh，i是车间时距；d0是车辆i停止后与前方车辆i-1的最小安全距离。

车辆队列中前后两车之间的纵向运动学关系如下：

式中：Δdi为车间距误差；Δvi为相对速度；di、de，i分别是实际车间距和期望车间距。

车辆i的实际加速度ai和期望加速度ai，e的关系如下：

式中τi为时间常数。

联合式（1）～（3）得到车辆队列节点纵向动力学三阶状态空间模型：

式中：

将Δi＝ai-1看作系统扰动。其中KL，i为系统增益，控制输入ui（t）＝ai，e。

对式（4）进行离散化，得到离散线性时不变系统：

式中：

其中Ts为采样周期。

1.2 队列系统中饱和约束

大量研究表明，队列稳定性与减少队列跟车间距和提高交通安全密切相关。近年来，已有大量文献提出各种队列稳定性的定义，设计多种类型的控制器从而保证队列稳定性，如滑模控制器、自适应控制器、H∞控制器等。然而现有的文献对队列稳定性大多是分类研究，如针对匀质队列和异质队列提出了不同队列稳定性的定义，此外少有文献将车辆队列系统的闭环稳定性与队列稳定性结合分析，而更多的是关注频域模型的队列稳定性。相比于传统的动态系统稳定性概念，队列稳定性与系统状态变量和时间密切相关。队列稳定性重点关注的是系统的响应沿车辆队列的传播，例如当车辆队列是不稳定的，系统跟车误差与干扰将沿队列传播放大。

队列稳定性：队列稳定性的要求如下式所述：

其中：ei是两相邻车辆跟车误差；是跟车误差传递函数。上式表明，一维车辆队列的队列稳定性是削弱跟车误差沿队列纵向传播的能力，即跟车误差沿队列不被放大，而上述队列稳定性的定义被许多文献采用。

实际的高速公路上，当同一车道内前方领航车辆出现紧急减速时，后方车辆的减速度将沿队列向后逐车放大，直到后方车辆停车，出现交通拥堵，即此时制动减速度出现了放大的现象，队列失去稳定性造成交通堵塞，甚至发生追尾碰撞事故，因此本文使用以下定义抑制加速度沿队列的波动。

定义1（队列稳定性）：∀αi∈（0，1］，当领航车辆的加速度发生阶跃变化后，①队列中所有跟车误差渐进地收敛到零点；②一维车辆队列是队列稳定的，当且仅当期望加速度满足如下条件：

约束条件（7）表明：在领航车辆变速运行中，稳定的队列中每辆车的加速度响应不应超过前车的加速度。设计控制器时应包含约束条件（7）。

执行器饱和：任何实际物理执行器件由于其结构空间和运行稳定性的限制都不可能工作在任意的状态，即受到饱和非线性的约束。例如，电机的转速不能超出一定范围，控制电机的电压和电流不能任意大，否则烧毁系统。由于约束的存在，控制系统在本质上是非线性的。如果系统在运行过程中违背了约束条件，将无法满足系统性能要求，甚至导致闭环系统的不稳定，严重情况下还会破坏系统设备，造成不必要的损失［10］。因此为了保证执行器（节气门和制动器）在允许的工作范围内稳定运行，控制输入ui（t）满足以下约束条件：

队列稳定性没有统一的定义，它是车辆队列特定的属性，不仅可以使用跟车误差评估队列稳定性，还可以利用速度和加速度沿队列的波动评估队列稳定性。本文采用期望加速度定义队列稳定性，将队列稳定性视为车辆队列的饱和约束条件。综上所述两个约束条件，可知系统（5）存在输入饱和现象，即输入饱和函数sat（ui）表示为

因此系统（5）演化为具有饱和非线性的离散线性系统

接下来在饱和约束情况下，设计CACC系统控制器，来保证行驶队列的稳定性。

2 控制器设计

上一节构建具有饱和非线性的车辆队列节点运动学模型，本节将车辆队列视为动态级联系统，利用饱和非线性控制原理，在考虑输入饱和的情况下，针对多个单一车辆节点设计控制器，满足队列性能的要求。文献［5］为了避免期望加速度过大，简单地将期望加速度限制在一定范围内，而本文通过求解参量Riccati方程的解，由该解构造低增益状态反馈控制律，从而避免控制器发生饱和而保证其稳定性。

2.1 饱和非线性系统镇定

考虑如下具有输入饱和非线性的离散线性系统

众所周知，非线性系统可实现局部镇定当且仅当矩阵对（A，B）可稳、（A，C）可检测以及矩阵A的所有极点位于闭的单位圆之内［11］。根据状态反馈控制原理，设计合适的状态反馈控制律，使车间距误差Δdi和相对速度Δvi同时减小，以及保证后车在尽可能小的加速度波动情形下跟踪前车行驶，这是一个最优跟踪控制问题。所谓最优跟踪控制问题是使如下线性二次优化性能指标函数极小化。

其中对于任意γ＞0，P＞0是离散参量Riccati方程的唯一对称正定解：

此最优控制问题的解为u（k）。接下来介绍定理1，求解最优控制问题和构造状态反馈控制律u（k）镇定系统（11）。介绍定理1之前给出如下引理。

引理1［13］假设集合Ω∈Rn是任意大且有界的，存在γ′＞0使得系统（11）与反馈控制律u＝F（γ）x（k）所构建的闭环系统的吸引域包含集合Ω，其中γ∈（0，γ′］。

定理1 系统（11）是局部镇定，当且仅当矩阵对（A，B）是可控性且矩阵A的所有极点都位于闭的单位圆之内，以及状态反馈控制律如下：

其中P（γ）是离散参量Riccati方程的唯一对称正定解。

证明：1）由引理1可知闭环系统演化为如下

令Lyapunov函数V（x（k））＝xT（k）P（γ）x（k）。设γ′∈（0，1）使得下式成立：

所以根据离散参量Riccati方程，Lyapunov函数V（x（k））沿着系统（17）在区域ε（P（γ），1）之内的轨迹的差分可以写成：

所以，对于任意的γ∈（0，γ′］，上述闭环系统（11）渐进稳定，且吸引域包含Ω⊂ε（P（γ），1）。

2）根据离散线性二次最优控制理论，极小化线性二次性能指标函数（12）的最优控制解为：

其中Q是如下离散Riccati方程的唯一对称正定解：

接下来只须证明Q＝P，设

于是，式（13）和（19）各自等价于

设ΔQ＝Q-P，反复利用上面2个等式可得

因为矩阵Aa（Q）是舒尔稳定的，所以上述Lyapunov方程有唯一对称半正定解ΔQ＝Q-P≥0。同理可证P-Q≥0，因此P＝Q。证毕。

注解1 当且仅当下式成立

P（γ）＞0是离散参量Riccati方程的唯一对称正定解。

本小节引入了具有输入饱和非线性的离散系统，基于多目标的约束进行了控制器的设计，实现系统的渐进稳定性。接下来将队列系统分为m个子系统来进行控制，最终达到队列稳定性的要求。

2.2 CACC控制策略

本小节针对每个车辆节点设计控制器，提出队列巡航控制算法。

从领航车辆节点开始，领航车辆模型如下：

矩阵对（A1，B1）具有可稳可控性且矩阵A1的所有极点都位于闭的单位圆之内。于是由定理1可知，对于任意γ1＞0，P1＞0是离散参量Riccati方程的唯一对称正定解：

且由P1构成的状态反馈控制律如下：

使得具有输入饱和非线性闭环系统（20）渐进稳定。

其中

使得具有输入饱和非线性闭环系统（22）渐进稳定。P2（γ2）是如下离散参量Riccati方程的唯一对称正定解：

其中γ2＞0。

队列中其他车辆节点控制器设计同样如此。比如，当车辆节点i＝3，4，…，m，令车辆节点的纵向运动学模型：

其中

镇定系统（23）。

综上所述，给出如下算法：

算法1 队列中所有车辆的控制器

2）（解参量Riccati方程）设φ（Ai）＜γi＜1，令Pi（γi）是参量Riccati方程的解，则

3）（更新矩阵）矩阵Ri更新为

4）如果i＝m，则算法终止。否则令i＝i+1，并转到第2步。

3 仿真分析

为了验证所提算法的有效性和稳定性，在Matlab／Simulink环境下搭建由4辆车组成的CACC系统队列纵向运动学模型和队列协同巡航控制算法进行系统时域仿真，并结合文献［14］中未考虑饱和的线性控制律做对比研究。同时开展两例仿真实验，在输入饱和的情况下，分别验证匀质和异质队列的稳定性。

3.1 匀质队列初始扰动仿真

匀质车辆队列是队列中所有的节点具有相同的动力学特性，以及通信拓扑结构、队列几何构型和车辆时滞相同［2］。为了验证所提出的控制器衰减跟随车辆的跟车误差和加速度信号波动放大的能力，仿真采用初始扰动工况。工况如下，领航车辆匀速行驶，速度为v0＝20 m／s，由于外界干扰和通信时滞的原因，队列中跟车误差和相对速度沿队列存在一定程度的放大，则4辆车初始状态分别设置为［-2.5；-1；0］，［-2.7；-1.8；0］，［-2.9；-1.2；0］和［-3.4；-1.5；0］。仿真结果如图2所示。

由图2可以看出：在平稳巡航跟车的情形下，因外界干扰初始速度和跟车误差沿队列逐车放大，当控制器介入后，各车辆的跟车误差和加速度都比较快速且平滑的变化，20 s之后跟车误差趋于零，队列实现渐近稳定性。因受到初始扰动的影响，大约5 s前跟车误差少有放大，但后车迅速响应领航车辆的状态，跟车误差和加速度随之平滑减小，在有效避免了车辆碰撞的同时也满足了乘客乘坐舒适性。对于线性控制律，后车虽然也可以因受到初始扰动而恢复平稳行驶，但加速度的跳变比较大，加速度峰值达到-0.82 m／s2，降低乘客乘坐舒适性。

3.2 异质队列循环工况仿真

实际车辆队列中由于车辆的类型和参数不一致（如，车辆质量和传动制动系统时滞不同）而组成了异质车辆队列系统。接下来的仿真设置队列中各车动力学特性不一致。仿真的初始条件为：整个队列匀速行驶，无初始车间距误差和初始速度差。在Matlab／Simulink仿真过程中，领航车辆运动轨迹是先加速再匀速，后减速到匀速行驶状态，仿真结果如图3所示。控制器参数见表1。

表1 控制器参数

由图3中（a）和（b）可以看出：在10 s时，领航车辆加速度突然增加后，所有后车几乎在11 s时发生变化，即后车车速和加速度相比于领航车辆开始变化的时间延迟了1 s，而在速度和加速度的跟踪误差上分别小于0.4 m／s和0.05 m／s2。通过以上的数据分析可知：后车的车速和加速度与领航车辆保持同步；匀速行驶时，后车的速度和加速度与领航车辆也变化一致；在接下来减速和匀速过程中同样如此，因此实现了后车的车速和加速度能良好地跟踪领航车辆行驶，即车速和加速度的变化时刻和数值保持一致。

对于线性控制律，在10 s时，领航车辆加速度突然增加后，第4辆车在14 s时发生变化，即第4辆车速度和加速度相比于领航车辆开始变化的时间延迟了4 s，并且在速度和加速度跟踪误差峰值上分别大于2 m／s和0.2 m／s2。通过以上的数据分析可知：虽然后车的车速能够达到目标车速，但是在变化时刻上却不能与领航车辆保持同步，并且变化时刻沿车队向后推迟；在30 s时，领航车辆恢复到加速度为零后，第4辆车却在45 s时恢复到匀速行驶，后车加速度的跟踪严重滞后于领航车辆的加速度变化。

4 结论

1）将队列稳定性和执行器饱和看作系统输入饱和，建立了具有饱和非线性的车辆节点纵向运动学模型，能准确反映车辆队列的纵向运动学行为，为下一步队列稳定性分析奠定了良好基础。

2）基于线性二次最优控制和饱和控制构建队列巡航控制算法，该算法不仅综合考虑跟车误差、相对速度和加速度得到期望加速度的最优解，而且在系统存在输入饱和下实现队列稳定性和系统的局部镇定，更符合队列实际加速度的需求。

3）仿真结果表明：系统状态发生变化后（如突然加速或紧急刹车），队列协同巡航控制算法能够快速有效地减少跟车误差和相对速度的波动，在保证良好的跟踪性和安全性下，也平滑了车辆速度和加速度变化，实现加速度的良好跟踪；系统恢复平稳行驶后，饱和控制使得控制系统有效抵抗外部干扰实现较小的静态误差。从仿真结果也可以看出：较大的跟车误差均发生在加速度变化率的正负交替时刻，因此今后将开展对状态量约束控制的研究。