余培 邓世国 刘华珠 张志

摘  要：提出一种基于线性系统分析和仿真拟合的5阶数字Sigma-Delta调制器的设计方法.

关键词：Sigma-Delta调制器;过采样率;数模转换;积分非线性

1、Sigma-Delta调制器的线性系统模型

Sigma-Delta调制器和其他转换器一样，通过在时间上采样和幅度上量化来实现模数和数模转换.由于幅度上的量化，系统对信号的处理不再具有线性，所以整个Sigma-Delta调制器属于非线性系统.但是，如果输入信号为随机信号，量化的级数足够多，Sigma-Delta调制器的过采样率远远大于2，或者Sigma-Delta调制器整形滤波器系统传输函数H（z）的阶数足够高（大于2），则量化器带来的量化误差将平均分布在量化区间上，从而可以近似为平均分布的量化噪声.

2、Sigma-Delta调制器的系统传输函数

G（z）具有让基带信号通过而滤掉高频噪声的低通特性，而H（z）能有效地将量化噪声转移到高频带.忽略稳定性的要求，理想L阶调制器的信号传输函数为G（z）=z-L，噪声传输函为数H（z）=（1—z-1）L，相应信号基带内的噪声能量为其中：△为量化间隔;过采样率ROS= ?S/（2?）.因此，系统的性能是传输阶数L和过采样率ROS的函数，ROS每提高一倍，基带内的噪声功率降低3（2L+1）dB，相当于同样输入信号强度的情况下，分辨率提高了L+0.5位.

根据Sigma-Delta调制器的线性系统模型，可以设计不同的系统环路结构L1，从而实现噪声系统传输函数H（z）.级联积分器单环反馈具有结构简单，运算速度快的特点，经常被用在数字Sigma-Delta调制器的设计中。对于高于1阶的单环反馈调制器是有条件稳定的系统，所以H（z）的最大增益Hinf一般不能太大，否则系统无法正常工作.Hinf具体的数值由系統函数的阶数和量化器的量阶决定.基于线性系统模型的设计是一种近似方法，所以得到的系统函数最后需要仿真验证.

H（z）表示为H（z）=N（z）/D（z），其中：有理函数N（z），D（z）的根为H（z）的零点和极点.D（z）是取决于Hinf大小的ⅡR滤波器的传输函数，而N（z）由零点的分布决定.如果让H（z）的零点均匀地分布在基带内，而不是都处在z=1处，即N（z）≠（z—1）L，则同样增益的H（z）可以获得更高的信噪比.由Matlab的线性系统和Sigma-Delta调制器设计工具，可以综合得到一个5阶的噪声系统传输函数H（z）

为了简化数字电路，实际的零点采用了两个近似：第一，N（z）单位圆上的零点采用L1中单位圆外的零点近似逼近;第二，为了简化反馈回路的乘法运算，反馈系数g1～2用2的负幂次2-M（M为正整数）来近似，反馈信号的二进制数值只要向左移M位，并舍去低M位数字就可以实现相应的系数相乘.

虽然以上近似得到零点不是最优的位置，但是能大大简化数字系统的实现，而信噪比的略微下降可以通过提高Hinf得到补偿.实际设计中，通过仿真得到的信噪比选择合适的M，可得到g1～2，g1≈2—1.997 2=0.002 8=2-8.48≈2-8;g2≈2—1.992 1=0.007 9=2-6.98≈2-7.

关于z各阶幂次对应系数的匹配，可以得到一组关于b1～5的方程，解方程可以得到以b5为归一化因子的b1～5的比例系数.一般可以根据最后一级积分器精度要求的位数确定b5的数值，如b5=28.

利用各级积分器的量化噪声滤波特性，可以使后级的位数逐级递减，而C1～5就是各级用来控制递减程度的增益系数.1/ROS≥ C1～5.b5和C1～5确定后，b2～5的数值即可确定，g1～2的数值需要考虑C1～5而作相应的修正，使最后的环路增益保持不变.所有系数求出后，每级数字积分器的位数，可以通过Matlab的系统模型输入正弦信号仿真得到的最大动态范围来确定.

3、多位5阶数字 Sigma-Delta调制器的设计

对于采样率为32的5阶数字Sigma-Delta调制器的设计可得g1=2-8，g2=2-7.由式（4）可以得到计算b1～5的方程，d1～5为N（z）—D（z）多项式4至0次幂的系数.由C1～5≤1/ROS=2-5，可以确定C1=C2=2-5，C3=C4=2-4，C5=2-8.最后，数字Sigma-Delta调制器环路反馈系数b1～5通过除以归一化因子b'5和C1～5得到

4、仿真结果与比较

将C1～5和b1～5代入数字Sigma-Delta调制器中，即可得到仿真拟合的Matlab模型.由仿真结果可知：调制器的输出，同时也是反馈信号在{±1，±3}之间跳变，具体取值可以通过对末级积分器的高2位二进制数判断得到，即采用的是2位的量化器.

5、结束语

基于线性系统分析和Matlab仿真拟合的5阶数字Sigma-Delta调制器，能够有效地设计稳定的Sigma-Delta调制器.对于3阶和4阶的Sigma-Delta调制器，当过采样率等于32时，其信噪比分别为68.0，73.3 dB;当过采样率等于64时，其信噪比分别为84.2，98.6 dB.文中设计的5阶数字Sigma-Delta调制器，在过采样率降低一半的情况下，即等于32时，可以获得104.1 dB的信噪比，比3阶和4阶调制器有大于5 dB的改善.因此，需要宽带信号Sigma-Delta调制器的应用场合，可以考虑使用5阶调制器降低过采样率的要求.

基金项目：广东省省级科技计划 2014B090911001