《小问题》栏目欢迎来稿出题(请自拟题目或注明题目来源)，题目及解答请寄《力学与实践》编辑部，采用后将致薄酬。

2020-5 如图1 所示，底面半径为r的小圆锥相对于底面半径为R的大圆锥作纯滚动。已知小圆锥底面圆心相对大圆锥速度为v，两者顶点重合，且顶角均为直角。大圆锥在惯性系中以角速度ω绕其本体坐标系的OX轴运动(角速度方向与X轴正方向一致)。求当小圆锥本体坐标系原点o位于Y OZ平面内时，小圆锥的角速度、角加速度和小圆锥上最高点B的加速度。(供稿：宝音贺西，清华大学航天航空学院)

图1

《小问题》栏目开展有奖竟答啦！2020 年12 月10 日前将题目解答发送到lxsj@cstam.org.cn，解答正确者即可免费获赠《力学与实践》2020 年第5 期期刊1 本(来信时请注明邮寄地址)。期待您的参与！

*《小问题》2020-4 解答*

问题：如图1 所示，三根质量均为m、长均为l的匀质细杆铰接后成一直线静止于光滑水平面上，今在AB杆的质心G处作用一垂直于杆的水平冲量I。试用冲击问题的拉格朗日方程，(1) 证明冲击后AB杆、BC杆、CD杆的初始角速度之比为4:3:−1。(2) 求冲击后系统的动能。(问题及以下答案供稿：张孝祖，江苏大学)

图1

解答：

(1) 冲击后三杆都作平面运动，系统有5 个自由度，故取AB杆质心G沿杆方向的位移x、垂直杆方向的位移y及AB杆、BC杆、CD杆的转角φ1，φ2，φ3为5 个广义坐标，如图2 所示。

图2

AB杆动能

BC杆动能

CD杆动能

系统总动能T=T1+T2+T3。广义冲量

由冲击问题的拉氏方程

式中，qi表示广义坐标，q1=x，q2=y，q3=φ1，q4=φ2，q5=φ3，t+表示冲击后，t−表示冲击前。注意到冲击前系统动能为0，代入整理后有

联立式(3)∼式(5)，可解得

(2)由冲击问题的动能定理：冲击过程系统动能的改变等于所有对应冲量与冲击点在冲击前后的平均速度的点积之和。现系统只在G点受I冲击，冲击后G点速度=0，=13I/(15m)，冲击前G点速度为0，故得冲击后系统动能为