唐彩霞

在《与三角形有关的角》这一节中，有一类非常经典的专题：五角星模型、“8字形”基本模型以及它的变形拓展模型中内角间的数量关系。与三角形有关的角的数量关系，可以梳理一个类似分类讨论情况的角关系，即：

1.内角与内角之间关系：三角形内角和定理

（三角形三个内角的和等于）

2.外角与外角之间关系：三角形三个外角的和等于

（1）三角形一个外角与它相邻的内角互补

3.内角与外角之间关系 （2）三角形一个外角等于与它不相邻两内角

（3）三角形一个外角大于与它不相邻任一个内角

五角星模型、“8字形”基本模型以及它们的变形拓展模型中内角间的数量关系这一类专题其实是学生对三角形内外角和知识的一个很好巩固，不同的变形模型，虽然原理都一样，但能够很好发展学生思维，学会识别学习几何不外乎就是识别不同的几何模型，几何模型变化有趣，对发散思维很强的学生来说能极大提高辨别能力。下面我们就用火眼精金来识别这些模型：

一、基本五角星模型

1.基本五角星模型

如图，在任意五角星模型中，请探究的度数.

证明：在△中，是△的一个外角

在△中，是△的一个外角

在△中

即

.

对于五角星的基本模型，先转化到两个“对称”的三角形中，运用两次“三角形一个外角等于与它不相邻两内角”转化到同一个三角形中，同样利用三角形内角和代换得到五个内角之和。

2.简单凹边形模型

求證.

证明：在△中，是△的一个外角

在△中，是△的一个外角

.

含有一个凹边形的模型的，作辅助线，运用两次“三角形一个外角等于与它不相邻两内角”转化到同一个三角形中，利用三角形内角和代换关系。

3.简单凹边形模型变形（一）

如图，在下面多边形中，请探究的度数.

证明：在△中，是△的一个外角

在△中，

即

此类含有一个凹边形的模型的，运用一次“三角形一个外角等于与它不相邻两内角”转化到同一个三角形中，利用三角形内角和代换关系。

4.简单凹边形模型变形（二）

如图，在下面多边形中，请探究的度数.

证明：在△中，是△的一个外角

在△中，是△的一个外角

即

此类含有三个凹边形的模型，运用两次“三角形一个外角等于与它不相邻两内角”转化在一个平角中，利用平角等于代换关系。由五角星模型衍生变式另一类在几何证明题中常见的题目：“8字形”基本模型。

5.“8字形”基本模型中内角的数量关系

如图，请探究的数量关系.

证明：在△中，中

，

（两底角之和两顶角之和）

二、“8字形”基本模型

“8字形”基本模型也是借助“三角形一个外角等于与它不相邻两内角”转化得到两底角之和等于两顶角之和;无论是多么复杂的模型，都可寻找特征转化为“8字形”，这充分体现了数学思想方法中的转化思想。“8字形”基本模型在以后的题目会经常出现，它有一点像平行线中的拐点模型，特别是在证明两个三角形全等中转换角的关系中经常出现。关于角的和差题目中，学生如果能够很快速度找出“8字形”基本模型，有利于学生很快找出角与角之间的关系，对于学生来说学习三角形全等和三角形相似就轻松很多。

关于五角星、“8字形”基本模型中内角之间的和、差问题背后的一些教学思考，对于刚步入初二年级学习几何的同学来说，当几何图形比较复杂一些时候，他们不能很快有效识别，找到边与角之间的数量、位置关系。所以在几何情景中或者变式题目中，应引导学生借助已有知识经验，借助图形直观，探索发现图形可能具有的性质，这样不仅有利于学生在获取有关知识，不断提高研究几何图形的性质能力，更有助于发展他们的创新意识和能力。以学生的知识经验为基础，不断发现适合学生能够理解运用的几何模型，就像数学建模一样，建立一些创新模型，从不同的题目中不断总结，提升自主探索能力，这对于逻辑思维比较强的学生是一种很好的学习习惯。通过此类问题的思考研究，更多是希望能有助于学生感知和体验空间与图形的现实意义，逐步发展学生的空间观念。