吴凌华 张 曦 周 新

（1、海军装备部，四川 成都610000 2、空军工程大学，陕西 西安710000 3、空装驻成都地区第三军代室，四川 成都610000）

1 概述

时频分析方法通过将一维时域信号映射到能量对时间频率二维的分布上，有效地表征了信号的时频域联合特征，是非平稳信号分析的有力工具。时频分析方法主要分为两类：线性时频分析方法和双线性时频分析方法[1]。

短时傅立叶变换是线性时频分析方法中的典型代表，尽管其时频聚焦性能不好，但其算法简单高效，且不存在交叉项干扰。WVD分布是一种典型的双线性时频分析方法，其分布结果有着非常直观的物理意义[2]。虽然其具有较好的时频聚焦性能，但存在严重的交叉项干扰。尤其在多分量信号的时侯，交叉项的出现往往掩盖了信号项，难以准确辨认信号的时频分布规律。考虑到短时傅立叶变换无交叉项干扰，而WVD 分布时频聚焦性好，结合这两种方法找到兼顾其优点的时频分析方法是一种提高时频分析性能的思路，基于此Stankovic L等人提出了S方法的时频分析方法[3]。该方法综合了谱图和WVD 的优点，在保持高时频分辨、力的同时能够有效抑制交叉项，算法复杂度低，在多分量信号分析中得到了广泛应用[4-12]。

本文根据S方法的定义，重点研究了其抑制交叉项的原理，并以此为基础对S方法的实现算法进行了详细分析，然后利用仿真得到其结果，通过对比分析验证了S方法的有效性。

2 S 方法的时频分析原理

2.1 S方法的定义。回顾短时傅立叶变换的定义：

其中，w（τ）是加权窗，窗宽为T。

Wigner 分布最早是由诺贝尔物理学奖获得者Wigner 于1932年在量子力学中引入的，信号s（t）的Wigner 分布（WD）定义为[1]：

Ville 于1948 年采用信号的解析形式x（t）代替s（t），将Wigner分布重新定义为：

称为Wigner-Ville 分布。WVD 分布本质上是一种双线性变换，双线性破坏了线性叠加原理。多分量信号的情况下，WVD分布中每两个分量都会产生相应的交叉项成分，严重影响了该分布的使用。

改造WVD分布的最简单的方法是对变量加窗函数h（τ）来实现减小交叉项的目的。对该方法改造后的WVD 分布称为伪Wigner-Ville 分布（PWVD），定义为：

其中窗函数w（τ）。

由式（1）和（3），可推出STFT与PWVD的关系：

引入窄窗函数ψ（θ），对式（4）加窗后积分，即得：

这种新的时频分布称为S方法[3]。

经变量置换后，上式可写为：

选择不同的窗函数ψ（θ）将得到不同的时频分布，特别有：

（1）当取ψ（θ）=2πδ（θ）时，有：DSM（t，ω）=|SSTFTx（t，ω）|2=SSPECx（t，ω）。（2）当取ψ（θ）=1 时，有：DSM（t，ω）=DPWVx（t，ω）。

虽然（6）式的S方法可以理解为修正的平滑伪Wigner-Ville分布，但它兼顾了短时傅立叶变换和伪Wigner-Ville 分布的优点，有许多优良的特性。

2.2 抑制交叉项原理。多分量间的交叉项干扰是WVD分布的主要困难。S方法能够有效消除信号分量间的交叉项干扰。下面对其抑制交叉项的原理进行分析。

考虑多分量信号

其中，信号分量si（t）=A（t）ejφ（t）是幅值缓变信号，即|A'（t）|＜＜|φ'（t）|。由于S方法是以短时傅立叶变换为基础的，故对信号s（t）作短时傅立叶变换。将信号s（t）的相位φi（t+τ）展开成泰勒级数。假设窗内幅值Ai（t+τ）的变化可以忽略，即Ai（t+τ）w（τ）≅Ai（t）w（τ），则有：

其中，FT[·]是傅立叶变换算子，W（ω）=FT[w（t）]，τ1是[0，τ/2]间隔内的变量，*ω 是频域卷积。

假设窗内的φi（t+τ1）可忽略，可得到谱图

设W（ω）的主瓣宽度为WB。令|ω|≥WB/2 时，W（ω）=0。则存在两种情况：

（1）若给定时间t，对于所有i，j，满足min[|φ'i（t）-φ'j（t）|]＞WB，则信号的能量仅集中在各分量频率上；（2）若对于任意的l 和k，[|φ'l（t）-φ'k（t）|]＜WB，则在瞬时频率φ'l（t）和φ'k（t）之间存在交叉项Al（t）ejφl（t）和Ak（t）ejφk（t）。

由式（4）和式（8），可得到：

若式（9）中双重求和项非零，须满足条件：

将两个不等式相加，则有

下面分析（9）式中交叉项成分在θ 轴的位置。将（10）式和（11）式相减，则有：

则加窗积分后，（5）式完全包括信号自项，且第i 和第j 个成分间的交叉项被消除。

3 实现算法分析

短时傅立叶变换方法虽然受限于不确定原理，时频分辨率不高，但因其只需要按采样理论采样，算法简单高效，在实际系统中被广泛应用；Cohen 类时频分布方法可以有效地抑制WVD 分布中的交叉项干扰，但通常要求2 倍的过采样，且算法复杂，计算量大，使其应用范围受限，特别是对于实时性要求较高的系统。S方法则无需过采样，且其离散化形式可通过高效的递归算法求得。

为避免混叠WVD 分布要求以2 倍采样理论定义的采样间隔对信号过采样，或者使用信号的解析形式。S方法不需要对信号过采样，可以同消除交叉项一样将混叠部分去除。

考虑对连续信号x（t）以采样间隔Ts采样，则采样后的离散形式为：

其傅立叶变换是沿频率轴以ωs为周期的周期函数

故可将xs（t）作为有无穷分量的连续多分量信号。则对于幅值缓变信号：x（t）=A（t）ejφ（t）

其短时傅立叶变换为：

考虑由（4）式与Wigner-Ville 分布的关系，则可得离散信号的WVD分布形式：

同前述S方法的交叉项分析一样，当满足条件：

式（16）中被积函数不为零。积分后信号自项（n1=n2）在θ 坐标系的原点附近。沿θ 轴最近的混叠是n1-n2=±1。当窗函数ψ（θ）满足：

这些混叠将被消除。与移除交叉项的条件式（13）相比，这个条件是比较宽松的。因此S方法中移除交叉项的条件通常保证了混叠成分的消除。

通过上述分析，可知S方法能够有效地消除WVD分布中的交叉项干扰，并且不需要对信号过采样，其离散化形式可采用递归算法求得，利于数字信号处理系统高效实现。

4 仿真实例

为验证S方法时频分析的有效性，下面通过仿真与典型时频分析方法进行比较。为简化仿真，仿真中采用两个信号之和，一个是载频f1=11.25MHz的定频信号，另一个是线性调频信号起始频率f2s=375MHz，截止频率f2e=10.0MHz，采样频率为fs=25MHz，时间为T=40.96us，观测时间内采样1024 个点，计算时S 方法时间窗选择长度为128 点的汉宁窗。

5 结论

为了能有效地抑制时频分布中交叉项的影响，结合短时傅立叶变换和WVD分布两种方法提出的S方法兼顾了两者的优点。本文根据S方法的定义，详细分析了该方法抑制交叉项的原理，并在此基础上对S方法的实现算法进行了研究，然后利用仿真分析对该方法的有效性进行了验证：理论分析和仿真实例证明S 方法能够有效的抑制交叉项的影响，适用于多分量非平稳信号的分析。