王贺元, 张 熙

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

随着洛伦兹非线性动力系统的面世,混沌现象越来越受关注,洛伦兹方程和类洛伦兹方程作为非线性动力系统的代表,引起了国内外许多学者的普遍关注,并对其进行了深入的研究。洛伦兹方程是在局部区域小气候的背景下建立起来的简化的三维非线性微分方程组,因为全球气候变化的物理背景相当复杂,无法进行大量实验,从而洛伦兹把其简化为一种简单的力学装置,从中给出了对应的洛伦兹方程[1-2]。

洛伦兹系统开启了混沌研究的先河,基于洛伦兹系统的混沌研究可分为2种独立的方法,一种是方程解的性质研究,用计算机进行数值模拟[1-5],另一种是混沌水轮物理实验。几十年来,先后有Miroslav Kolar、Leslie E. Matson、Ashish Bhatt等致力于混沌水轮实验研究,从数学角度讨论了水轮的混沌现象[6-8],但是此方面的中文文献没有涉及,而且没有将物理现象与数学机理联系起来。本文讨论了水轮混沌现象的产生与发展过程,并联系实际物理现象,对水轮的混沌旋转问题给出合理解释。

1 混沌水轮装置简介与运动特征分析

如图1所示,混沌水轮装置与古代的水车相似,水轮顶端有恒定水流注入挂在轮边缘的水杯中。每只杯底部均有一小孔能恒定地出水。如果上面的水流速度很慢,顶部水杯内水量少,因而不能克服轮轴摩擦力,水轮不会转动;如果水流加快,随着顶部水杯内水的增多,带动水轮开始匀速旋转;随着水流继续加大,旋转便呈混沌状态,转动的方向和速度会因系统内在的非线性而出现复杂的运动特性。

图1 混沌水轮实验装置示意图Fig.1 Schematic diagram of chaotic water wheel experimental device

2 混沌水轮的数学模型及特性

文献[6]经过一系列物理推导,得到了混沌水轮简化的动力学方程组为[9]

(1)

类洛伦兹系统(1)具有对称性,即在变换(X,Y,Z)→(-X,-Y,Z)下具有不变性,即系统(1)关于Z轴具有对称性,且这种对称性对所有的系统参数均成立[10]。

3 平衡点及局部稳定性

3.1 平衡点

3.2 稳定性

|λE-J2|=λ3+(σ+2)λ2+(p+σ)λ+2σ(p-1)=0

(2)

此时p>1。

当p继续变大时,势必出现转折点,当p超过此值,特征根将出现复根,此时特征方程出现二重根,设转折点对应的参数p为p1。

当p1

当p>p2时,特征方程存在实部为正的虚根,故此时平衡点不稳定,存在Hopf分岔。

4 全局稳定性分析

5 系统的动力学行为数值仿真及其分析

本节对系统(1)的动力学行为进行数值仿真。固定系统参数σ=5,随着p的增大,混沌水轮方程组的动力学行为发生了一系列变化,如出现了Hopf分岔和混沌等非线性现象。本文在MATLAB数学软件中采用龙格-库塔算法,对系统(1)求数值解,进而画出仿真图,并以此揭示系统(1)的混沌学行为[15]。

图2给出了当σ=5,0≤p≤350时的分岔图,图3给出了上述范围内的最大李雅普诺夫指数。当p1=1.058 45时系统(1)开始发生分岔,当p2=15时产生混沌,混沌区在117.559≤p≤132时有一个较明显的周期窗口。

图2 当σ=5,ρ=66时状态变量y的分岔图

图3 当σ=5,ρ=66时最大Lyapnov指数图

系统(1)在进入混沌状态以后,吸引子将出现复杂的蝴蝶型,庞家莱截面也会随之变得复杂。如图4和图5所示,取σ=5,ρ=66>15,得到吸引子和庞加莱截面,此时系统正处于混沌态。

图4 当σ=5,ρ=66时吸引子图Fig.4 Subgraph of attraction when σ=5 and ρ=66

图5 当σ=5,ρ=66时庞加莱截面Fig.5 Poincaré cross section when σ=5 and ρ=66

取σ=5,ρ=16,系统(1)的功率谱和返回映射如图6～图7所示,此时系统已经进入混沌状态。

图6 当σ=5,ρ=66时的功率谱Fig.6 Power spectrum when σ=5 and ρ=66

图7 当σ=5,ρ=66时的返回映射Fig.7 Return mapping when σ=5 and ρ=66

6 结 论

本文通过对系统(1)解的研究和数值仿真,揭示了水轮模型混沌的数学机理,结合水轮实验的物理现象,解释了水轮的混沌旋转现象。当实验装置轮轴间摩擦力固定时,σ随之固定,随着注水速度的增大,p随之增大。当015时,系统(1)进入混沌状态,水轮转动的角速度和方向都具有随机性和不可预测性,表现出极为复杂的运动特性。本文将系统的数值仿真结果与物理背景紧密结合,从而揭示了水轮的混沌旋转现象的数学机理。