摘 要：二次型的理论及其性质是线性代数的主要内容之一，二次型的理论及其应用及其广泛，其中正定二次型又是二次型中一类重要的二次型，有着非常重要的理论和实用价值。在文【1】中，简介了二次型及其在实际中的应用，在文【2】中，浅析探讨了正定二次型的理论及其性质，而在文【3】中重点探讨了正定二次型及其在最优化方法中的应用。文【4】中主要是研讨了正定二次型在高等代数中的应用。为使读者能够比较全面的深入了解，正确清晰的理解和掌握正定二次型的理论及其应用，本文主要是针对正定二次型在几何，最小二乘法及其物理力学等实际中的一些应用作一些简介。如有不当之处，欢迎读者给予批评指正。

关键词：正定二次型;正定矩阵;最小二乘法;线性方程组

一、在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用

二次型的理论探讨是从18世纪开始的，它的起源是对二次曲线和二次曲面

的分类问题的讨论，直到1858年，维尔斯托拉斯在他人研究的著作的基础上，不仅给出对同时化两个二次型成为平方和的一般的方法，而且还证明了，如果二次型是正定的，那么即使某些特征值相等，这个化简也是可能的。

如果，取的前行所构成的列向量，由范德蒙德行列式可知，的前行所构成的列向量线性无关，从而，相应“接长”的维列向量也线性无关。因此，对于任意的，必有，这时，故为正定矩阵。综上所述，为正定矩阵的充分必要条件是：。

四、在……