王来全，夏米西努尔·阿布都热合曼

(1.昌吉职业技术学院基础部，新疆 昌吉 831100；2.新疆大学数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046)

一般情况下，在确定性传染病模型中假设疾病的传染率为常数，这在大范围内预测传染病的流行趋势是不够理想的，传染病的传播应考虑时变系数的传染率及传播受季节等因素的干扰[1].例如，文献[2]考虑了传染率具有季节变化的SIRS传染病模型；文献[3]提出了一类具有周期性传播率的麻疹模型，讨论了季节变化对麻疹传播的影响；文献[4]研究了季节在确定性模型和随机模型中的作用.通过查阅文献知，很少有人讨论具有季节变化的随机传染病模型，从理论上说含有季节变化的随机传染病模型得到非平凡周期解比较少见.基于文献[5]的理念，我们把易感人群分为高危易感人群和低危易感人群，且在感染率不同的情况下，假设易感者具有时变传染率、时变出生率及时变死亡率，建立了一类具有季节变化的随机SIR传染病模型，讨论了疾病的灭绝与持久性，分析了模型存在非平凡周期解的条件.

1 数学模型

我们把人群分为低危易感者S1(t)、高危易感者S2(t)、感染者I(t)和治愈者R(t).假设Λ(t)为易感人群的输入量，从S1(t)转化为S2(t)的概率为α(t)(α(t)∈(0，1))，μ(t)为各类人群的移除率(包括迁移或者死亡等情况)，γ(t)表示对患者的治愈率，低危人群和高危人群的感染率分别为β1(t)、β2(t)，且β1(t)<β2(t)；假设季节对S1(t)、S2(t)、I(t)、R(t)的随机干扰分别为σ1(t)S1(t)dB1(t)、σ2(t)S2(t)dB2(t)、σ3(t)I(t)dB3(t)、σ4(t)R(t)dB4(t)，其中：σi(t)(i=1，2，3，4)表示噪声干扰，Bi(t)(i=1，2，3，4)表示布朗运动.根据生物学意义，以上时变系数均为非负数.我们建立了如下随机模型：

(1)

若f(t)在[0，+)上可积，定义若f(t)在[0，+)上有界，定义

其中：(s，x)∈I×U，I和U为闭集，B为常数.

(2)

LV(t，x)≤-1， (t，x)∈(lI×U)，

(3)

2 疾病的灭绝与持久性

进而得……