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深度学习在初中数学复习课中的实施方法探究

2020-10-20吴菲

中学课程辅导·教育科研 2020年25期
关键词:一次函数

吴菲

【摘要】  复习课怎么上才能达到复习的效果,一方面要引起学生的兴趣,另一方面要做到知识的温故知新。新授课、习题课与复习课在教学上互有分工,教学要求层层递进。作者利用一堂复习课案例来探究函数复习课背后的数学核心素养能力培养方法。

【关键词】  一次函数 线系方程 学生生成 素养训练

【中图分类号】  G633.6                           【文献标识码】  A 【文章编号】  1992-7711(2020)25-163-02

一直以来,复习课由于所受知识学生已经学过,老师不容易调动学生兴趣,并且课堂知识点多而杂,而被很多老师都认为不好上。因此我在送课的时候老师们经常会希望我上复习课,方便一起探究复习课更好的上课方式。

要上好复习课,首先得区分好新课、习题课、章节复习课、和中考复习课的区别。如果用数学中简单的运算法则来形容,“新课”好比加法,在学生的大脑中进行知识的扩充或积累。“习题课”好比加减混合运算。一方面,增加学生运用相关知识解决各种问题的方法及运用知识的角度,另一方面,又将同类习题进行整合,去表象而求实质。“章节复习课”好比减法,将整章看似零散的知识点,用学习代数、几何、解析几何、统计的通用方法来进行知识的串联和整合,让学生对本章的知识体系越来越清晰。抛开题与题之间列式的不同,去寻求题与题之间解题思路、解题能力及所用数学思想上的关联或一致性。“中考复习课”就好比除法,将所有知识点的能力目标进行分类,将章节复习课的学习方法运用到相关章节上,进行更大的知识体系连接,复习总结出四套学习方法,分别解决代数、几何、解析几何、统计相关知识。今天就以一节章节复习课的案例,与大家分享解析几何——函数研究方法的探究,供大家参考。

一、教学目标

1.让学生体会研究函数的三个角度:点、线、面,体验划归思想。

2.让学生学会几何语言与代数语言的相互转换,进一步体验数形结合思想的运用。

3.让学生在合作探究过程中感受动态问题中参数的几何意义,提高学生处理参数的能力,会利用相关线系解决具体问题,提高计算能力。

4.能将所学的一次函数研究方法迁移到其他函数模型上,突破解析式的限制,看到函数研究的通法,培养函数研究的持续能力。

二、教学重点

1.从“点”、“线、“面”三个角度研究函数;

2.“定点”、“动点”、“交点”、“线系”相关知识的运用。

三、教学难点

1.含参一次函数中定点的求法;

2.线系方程的运用。

四、教学过程

一、开放式命题引入

已知一次函数y=mx+3m,添加一个条件求出函数解析式。

【素养训练】开放命题,调动学生已有学科知识:1.求解析式的实质是求解析式中的参数;2.需要几个条件求取参数?条件个数与参数个数之间又怎样的关系?3.有哪些形式能给出求参数的条件?

【学生生成1】添加条件:过某个点,例如函数图象经过点(-1,2)

【知识链接1】常见的给点方式有哪些?

1.过点(-1,2)

2.当x=-1时,y=2

3.在函数图象上给出点

4.用表格形式给点

【学生生成2】添加条件:与某直线平行(垂直)。例如与直线y=2x-5平行

【学生生成3】添加条件:已知与坐标轴围成的三角形面积。例如与坐标轴围成的三角形面积为9.

【设计意图】从点、线、面的角度给出求参数的条件。引导学生将函数研究方向聚焦到研究与函数有关的点、线、面上。在点、线、面三方面中,研究与函数有关的点尤其重要。

二、探究与函数有关的点

例1已知一次函数y=mx+3m,过点(-1,2),

(1)求出函数解析式。

(2)求该函数与坐标轴交点坐标;

求该函数与y=-x交点坐标;

(3)若点P为该一次函数图象上的动点,则P点坐标可表示为__________.

【素养训练】在具体问题中感知函数图象上的已知点、交点、动点的具体运用及呈现方式。训练学生归纳、计算、消参的能力。

【知识链接】函数中常见的点及对应的运用方法(适用于所有函数):

1.函数图象上的已知点

处理方法:将已知点坐标代入解析式,消参。

2.交点

处理方法:1.求交点:联立解析式,求方程组的解;

2.已知交点:可代入多个解析式消参。

3.图象上的动点

处理方法:直线y=kx+b上动点P的坐标可表示为P(x,kx+b)

(1)求出函数解析式;

(2)求该函数与直线y=-x的交点坐标;

(3)若P为该函数图象上一点,过P作PH垂直x轴于点H,

求△OPH的面积。

【设计意图】任何函数图象都是又具有某一特征的点构成,在研究函数图象上的相关运用时可打破一次函数的限制,引导学生进行知识迁移,培养学生用已知探究未知的能力,授之以渔。该探究亦适用于高中函数学习,进行初高中数学学习能力衔接。

三、拓展探究

(4)已知一次函数y=mx+3m,过点(-3,0),你有什么发现?

【学生生成】代入点(-3,0)得,-3m+3m=0等式恒成立,與参数m无关。

【知识链接】1.带参函数上的定点:使含参解析式恒成立的点

2.求含参函数图象上定点的方法及步骤:

(1)转换主元:以参数为主元整理解析式

(2)寻找恒成立条件:令参数的系数为0时,所得方程若恒成立即有定点,若无法恒成立,则无定点。

注:此方法步骤适用于所有函数

【例题解析】

【变式训练】

【设计意图】含参动态问题中的定值问题是研究含参问题中最有研究价值的一类问题,往往也是解题或优化解题方法的突破口。转换主元的方法适用于所有在特殊的含参解析式中寻找定点,为后续函数中定点的寻求作思想和能力的铺垫。

【结论】只含一个参数的一次函数图象一定过某个定点。

四、探究与一次函数有关的线系

【学生生成】第(3)问可利用垂直系方程求解,也可利用等腰三角形的三线合一的性质,由中点坐标公式得到。

【素养训练】巩固训练函数图象上点的运用方法,巩固消参的能力,引入線系的思想,承上启下。

【知识链接】

【设计意图】从线系的角度,再次直观诠释一次函数中常数k、b的几何意义。会根据题目已知条件合理设出线系方程。

直线y=2x+d呢?

【设计意图】平行线系的运用

变式:点C为直线AB与x轴的交点,若直线y=kx+4与△OCD有交点,求k的取值范围。直线y=nx+10呢?

【设计意图】定点线系的运用

【迁移训练】根据学生情况,以下内容选择性教学或作为课后学生探究作业。

结合求含参函数图象所过定点的方法,探究过定点(1,2)的线系方程应该如何表示?过定点(x1,y1)的线系方程呢?

【素养训练】多角度理解“定点”的用法,进行知识和能力上的迁移,培养学生深入研讨,多角度运用、分析概念的能力。培养学生触类旁通,开放思维,大胆质疑的能力。

五、探究与一次函数有关的面

(5)点E坐标为(4,0),P是直线y=-x+6上的点,设△OPE的面积为S,当S=10时,求P点坐标。

【素养训练】训练数形结合思想,几何条件与点坐标、线解析式之间的转换。

【知识链接】与函数图象有关的面积问题的分析策略:

1.制定求面积的方法

(2)所求三角形三边都不与坐标轴平行时,选择割补法(用与坐标轴平行的直线进行割补,转化为(1)的情况处理)。

2.用坐标表示“底”和“高”。

六、一次函数点、线、面知识综合运用

(6)Q是直线y=-x+6上的一个动点,当Q运动到何处时,△OQE的周长为C最小?

【素养训练】本题涉及到了“直线上已知点”、“直线上动点”、“垂直线系”、“交点”、“中点”、“对称点”、“轴对称”、“最短路径”等相关知识。

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