【摘要】泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的重要工具，它们都是借助于简单的幂函数去研究一個复杂的函数，因此把一个解析函数展为泰勒级数和洛朗级数就显得特别重要，但一些初学者容易把两种方法搞混淆，笔者就两种展开的方法的区别作了一个详细的总结。

【关键词】泰勒级数  洛朗级数  区别

前言：泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的重要工具，它们都是借助于简单的幂函数去研究一个复杂的函数，因此把一个解析函数展为泰勒级数和洛朗级数就显得特别重要，但一些初学者容易把两种方法搞混淆，下面就两种展开的方法的区别作了一个详细的总结。

一、两种展开的方法的区别

解析函数展开为泰勒级数是根据泰勒展开定理来展开的：设f（z）在区域D内解析，z0为D内的一点，d为z0 到D的边界上各点的最短距离，那么当|z-z0|

f（z）=cn（z-z0）n （1）成立，其中cn=，n=0，1，2，3，…

（1）式称为f（z）在z0的泰勒展开式，（1）式右端的级数称为f（z）在z0的泰勒级数，泰勒展开定理告诉我们：在一个圆域内解析的函数可展为泰勒级数，泰勒级数是在圆域内展开的。但在实际展开中这个圆域往往要我们自己去找，其找的方法是这样的：设f（z）在z0处解析，且有若干奇点，比如z1，z2，z3等，则f（z）在z0处的泰勒展开式成立的圆域半径R=z0到最近奇点的距离，即f（z）在圆域|z-z0|

解析函数展开为洛朗级数是根据洛朗展开定理来展开的：设f（z）在圆环域R1<|z-z0|

f（z）=cn（z-z0）n （2）成立，其中cn=dζ，n=0，±1，±2，±3，…，C为在圆环域R1<|z-z0|

（2）式称为f（z）在圆环域R1<|z-z0|

例1：把函数chz展开成z的幂级数，并指出它的收敛半径。

解：∵chz=（ez+e-z）/2，而由（4）式ez=，|z|<+∞，再将（4）式两端的z换成-z得e-z=（-1）n，|z|<+∞，故chz=1+++…，|z|<+∞，收敛半径R=+∞.

例2：求函数1/z2在z0=-1处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径。

解：1/z2=-（1/z）'，而1/z=- ，将（3）式两端的z换成z+1得1/z=-=-（z+1）n，1/z2=-（1/z）'= n（z+

1）n-1=（n+1）（z+1）n，|z+1|<1，收敛半径R=1.

例3：求对数函数的主值ln（1+z）在z=0处的泰勒展开式。

解：因为ln（1+z）在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的，而-1是它的一个奇点，所以它在|z|<1内可以展开成z的幂级数，因为[ln（1+z）]'=1/（1+z），将（3）式两端的z换成-z得=（-1）nzn，|z|<1，（6），在（6）式的收敛圆|z|<1内，任取一条从0到z的积分路线C，把（6）式两端沿C逐项积分，得dz=dz-zdz+…+（-1）nzndz+…，即ln（1+z）=z-z2/2+z3/3-z4

/4+…+（-1）nzn+1/（n+1）+…，|z|<1.

二、结束语

从以上的分析和4个例子大家可以看出函数展开为洛朗级数与泰勒级数的区别。

参考文献：

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]马柏林.复变函数与积分变换[M].北京：北京大学出版社， 2019.

[3]钟玉泉.复变函数学习指导（第一版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[4]同济大学应用数学系.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

作者简介：李明泉（1964-），男，重庆人，大学本科学历，讲师职称，现任教于三峡大学理学院数学系，从事《运筹学》的研究。