田朋朋 朱一心

(首都师范大学数学科学学院,北京 100048)

0 引 言

柯朗和罗宾[1]介绍了直线与圆的反演的4个性质并给出了初等几何证明.柯熙[2]研究了以圆锥曲线的焦点为反演中心时椭圆、双曲线和抛物线的反演像均为帕斯卡蜗线.本研究在原像与反演像的连线端点处作一垂线,当反演点取遍整个圆锥曲线时,此垂线包络形成的图像.首先利用GeoGebra软件画出了分别以圆锥曲线的焦点、中心和顶点为反演中心时,反演点连线垂线的包络图像,得到定理1～3.利用定理1给出一种轨迹法画圆锥曲线的统一方法,得到定理4.最后结合定理4给出圆锥曲线的包络形成法.得到定理5，并解析证明.本文所述几何图形均指欧氏的平面几何图形.

1 反演点连线垂线的包络图像

圆反演的定义是常见的,例如参考文献[1].

定义1[1]在一确定的平面上,给定以O为中心(称为反演中心)，以R为半径的圆C.点C′位于直线OP上,且使得OP·OP′=R2，则点P和点P′互为关于给定圆C的反演点.P到P′的变换叫做反演变换.其中圆C称为反演基圆(图1).

图1 反演基圆

由定义可知,一个反演变换使圆C的内部变为圆C的外部.因为,若OPR;若OP>R，则OP′

若以反演基圆的圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系,设平面上任意一点P的坐标为(x,y)，其在反演基圆下的反演点P′的坐标为(x′,y′)(图2).此时,点P可用复数Z=x+yi来表示,点P′可用复数Z′=x′+y′i来表示.

图2 平面上任意一点P和反演点P′

则由反演的定义得

|Z|·|Z′|=R2，

因此有

整理得

(1)

该式也被称为直角坐标系下反演变换的解析式.

利用反演……