师东生 石炜

摘  要： 文中构建了一个新的五维超混沌系统，该系统在[x?z]方向和[x?w]方向上均具有四翼特征。通过在Lyapunov指数、庞加莱截面图、分岔图以及频谱图等方面的仿真与分析，确定具有四翼吸引子的超混沌系统具有更高的Lyapunov指数。迭代生成的序列值分布更为均匀、离散，表明新构建的超混沌系统具有更为复杂的动力学行为，拥有更宽的频谱带宽，在通信、信息安全等领域具有更为广阔的应用前景。

关键词： 高维超混沌系统; 动力学行为; 四翼吸引子; Lyapunov指数分析; 庞加莱截面分析; 功率谱分析

中图分类号： TN911.7?34                       文献标识码： A                          文章编号： 1004?373X（2020）19?0010?04

Abstracts： A new five?dimensional hyperchaotic system is constructed in this paper. The system has four?wing characteristics in both [x?z] and [x?w] directions. By simulation and analysis of Lyapunov exponent， Poincare section， bifurcation diagram and frequency spectrum， it is determined that the hyperchaotic chaotic system with four?wing attractor has higher Lyapunov exponents， and the sequence values generated by iteration are more uniform and discrete. The analysis results show that the newly?constructed hyperchaotic system has more complex dynamic behavior and broader spectrum bandwidth， and has a wider application prospect in communication， information security and other fields.

Keywords： high?dimensional hyperchaotic system; dynamic behavior; four?wing attractor; Lyapunov exponent analysis; Poincare section analysis; power spectrum analysis

0  引  言

自1963年美国气象学家Lorenz发现了第一个三维混沌系统——Lorenz系统以来，诸多学者致力于混沌系统的研究，并相继推出了许多著名的混沌系统，如：Chen系统、Sprott系统、Lü系统等。由于混沌系统具有遍历性、有界性、初值敏感性等特点[1]，因而被广泛地应用于信号处理、信息安全、生物技术等领域。近几年来，学者们研究发现：低维（三维及以下）的混沌系统由于大都具有少而偏低的Lyapunov指数，从而容易导致混沌系统的动力学行为过于简单，在信息安全领域会导致密钥空间偏小、周期窗稳定等缺陷[2?5];高维混沌系统（五维及以上）由于正的Lyapunov指数多于2个，因而复杂性更高、鲁棒性更强，在信息安全领域具有更高的可靠性。而具有四翼蝴蝶混沌吸引子的混沌系统具有更为复杂的动力学行为，在信息安全方面具有更高的安全性，于是更多的四翼混沌系统应运而生并得到广泛应用，如：三维四翼混沌系统[6?8]、四翼超混沌系统[9?13]、分数阶四翼混沌系统等[14?15]。

本文构建了一个新的五维超混沌系统，该系统在[x?z]以及[x?w]方向上均具有四翼特征，通过对Lyapunov指数、分岔图、庞加莱截面和功率谱等方面的仿真研究，确定该超混沌系统具有较高的Lyapunov指数和更为复杂的动力学行为。

1  新五维超混沌系统

新五维超混沌系统如式（1）所示：

式（1）部分三维相图和平面相图如图1所示，图2为时间序列图。

2  动力学行为分析与仿真

2.1  耗散性

2.2  平衡点分析

2.3  Lyapunov指数与分岔图

Lyapunov指数刻画了在相空间里系统两条相邻的轨道之间收敛和发散的平均指数率[16]。正的Lyapunov指数是引起混沌吸引子局部不稳定的根源，它导致两个初始值所产生的两条轨道随时间以指数方式分离，由于系统是耗散的，所以混沌系统会变得局部不稳定而整体稳定[17]。

从图4～图6中可见，当参数[a∈][20，60），具有2个正的Lyapunov指数，系统为超混沌状态;当[a∈][60，85）时，有1个正的Lyapunov指数，系统为混沌状态;当[a∈][85，100]时，最大的Lyapunov指数为0，系统为周期运动状态。当[c∈][6，20]时，具有2个正的Lyapunov指数，为超混沌状态。当[d∈][2，26]时，具有2个正的Lyapunov指数，为超混沌状态;当[d∈][27，30]时，只有1个正的Lyapunov指数，为混沌状态。

分岔图用来表示当某一参数变化时，系统随之发生变化的图示。从图4～图6可见，当具有正的Lyapunov指数时，分岔图也随之呈密集分布状态，与式（1）的混沌或超混沌状态相吻合。

2.4  庞加莱截面分析

当庞加莱截面上出现[k]个离散的点时，说明系统是[k]周期运动的;当截面出现一条封闭曲线时，说明系统是拟周期运动的;当截面出现成片、并具有分形特征的大量截点时，说明系统处于混沌状态。

图7为[x?z]方向和[x?w]方向的庞加莱截面图，截面图上均出现了由大量截点构成的具有分形结构的叶片，这些叶片穿越上下吸引界限，从而形成四翼混沌吸引子。

2.5  频谱分析

功率谱是将Fourier变化应用到相空间的坐标中得到的系统二维图形表述。若系统为混沌运动，则呈现连续的谱线，同时可看到噪声背景和宽峰，并会观测到尖峰[16]。

图8为关于[x]，[y]分量的功率谱图，可见式（1）的频谱带宽明显宽于三维Chen系统和三维Lorenz系统的频谱带宽，此特性非常有利于在信息加密等领域的应用。

3  结  语

通过对新构建的五维超混沌系统进行仿真测试，发现该系统在[x?z]方向和[x?w]方向上均具有四翼特征，而且具有较高的Lyapunov指数，说明该系统具有更为复杂的动力学行为;其时间序列图也表明了该系统迭代生成的值分布均匀而密集，离散性强;功率谱图也展示了其具有更为宽厚的频谱带宽，说明该系统在信号处理、信息安全等方面具有更为良好的应用前景。

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