(G-V)-不变凸多目标规划的Wolfe型对偶条件

2020-10-12刘靖雯李向有

延安大学学报（自然科学版） 2020年3期

刘靖雯，李向有，江柳

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

对偶问题是数学规划中很重要的研究内容，一般对偶问题分为Mond-Weir型对偶和Wolfe型对偶。在过去的二三十年里，不同学者利用不同的凸函数研究了大量对偶问题，得到了很多重要的结果。如：孙玉华[1，2]等人研究了B-(p,r)-不变凸函数的Mond-Weir型对偶理论以及Wolfe型对偶理论；赵丽丽[3]讨论了广义(F,α,β,d)-V-凸多目标规划问题的最优性与对偶性;李丽，张庆祥[4]研究了(F,α,β,d)-对称凸性下多目标规划的Mond-Weir型对偶。G不变凸函数是Antczak提出一类新的广义的不变凸函数，随后他利用这类函数研究了可微的G不变凸函数限制下的多目标规划的Mond-Weir型对偶[5-7]。Kang[8]和Kim[9]又将该G不变凸函数推广到非可微情形，研究了非可微多目标规划问题Mond-Weir型对偶，得到了非可微G不变凸性下Mond-Weir型对偶条件。近年来，Antczak[10]定义了非可微(G-V)-不变凸函数，把G不变凸函数推广到向量情形，并用这类函数研究了非可微多目标规划的Mond-Weir型对偶理论。

受上述文献启发，本文将利用(G-V)-不变凸函数研究一类非光滑多目标规划问题，重点研究Wolfe型对偶问题，给出相应的弱对偶、强对偶及严格逆对偶定理。

1 基本定义

称实值函数f:Rn→R是局部Lipschitz的[11]，若对任意x∈Rn，存在一个正数k和x的邻域N(x)对任意y,z∈N(x)，使得

‖f(y)-f(z)‖≤k‖y-z‖。

若函数f为局部Lipschitz的，那么函数f:X→R在点x处沿方向d的Clarke广义方向导数和Clarke广义梯度分别定义为[11]：

∂f(x)={ξ∈Rn：f0(x;d)≥ξTd,∀d∈Rn}。

下面的不等式在整篇文章中都成立，对于任意x,y∈Rn，

x≦y⟺xi≦yi；x≤y⟺xi≦yi,但x≠y；

设x⊂Rn，u∈X，令f=(f1,…,fm)：X→Rn，fi(i=1，…m)是定义在X上的局部Lipschitz函数，令Ifi(x),i=1，…，m表示fi的值。T.Antczak在文献[10]中定义了非可微(G,V)不变凸函数，让我们回忆一下。

定义1[5]设函数Gf=(Gf1，…，Gfk):R→Rk，其每个分量Gfi(x)：Ifi(x)→R，i=1，…k均是严格单调递增的可微实值函数，函数α:X×X→R+，η:X×X→Rn，若对x∈X,∀ξi∈∂fi(y),y∈X,i=1，…，k，有：

Gfi(fi(x))-Gfi(fi(y))

则称f在y∈X相对于函数α,η是非可微(G-V)-不变凸函数。若在上式中x≠y且换成>，则称函数fi在y∈X相对于函数α,η是非可微严格(G-V)-不变凸函数。

显然：当Gf=(Gf1，…，Gfk)：R→Rk，其每个分量Gfi：Ifi(x)→R,i=1，…k均是恒等映射时，f在y∈X相对于函数α,η是(G-V)-不变凸函数。

定义2[5]D为满足规划问题(VP)约束条件的所有点的集合。x*∈D是(VP)的可行解，若找不到x∈D使得f(x)≤f(x*)成立，则称x*为该问题的有效解。

2 Wolfe对偶性条件

考虑下列多目标规划问题(VP)

这里X为Rn上的非空开集，fi:X→R(i=1，…，k),gj:X→R(j=1，…，m)均为局部Lipschitz的实值函数。记(VP)的可行域为D={x∈X|gj(x)≤0,j=1,2,…,m}。

(VP)的对偶规划定义为(VD)：

maxGf(f(y))+uTGg(g(y)e)=(Gf1(y))+

uTGg(g(y)),…,Gfk(fk(y))+uTGgg(y))，

ujGgj(gj(y))0,j=1，…m，

λi≥0,i=1，…，k,uj0,j=1，…，m。

这里fi:Rn→R,(i=1，…，k),gj:Rn→R均为局部Lipschitz的实值函数，Gf=(Gf1，…，Gfk):R→Rk，每个Gfi:Ifi(x)→R,i=1，…k是严格单调递增的可微实值函数，Gg=(Gg1，…，Ggm)：R→Rm每个分量Ggj:Igi(x)→R，j=1，2，…，m是严格单调递增的可微实值函数且Gfi(0)=0,Ggj(0)=0,eT=(1,…,1)。

定理1 (弱对偶)若以下条件成立：

(i)x,(λ,u,y)分别是(VP)和(VD)的可行解；