□潘红娟

编者按

数学拓展课的开发与实施

数学拓展课，旨在激发数学兴趣、关注活动经验、落实核心素养、实现深度学习。近几年来，不断为广大教师认同、接受。但纵观此领域的研究可以发现，大部分数学拓展课还是停留于单节课的实践，缺少从“课”到“类”的研究。杭州市江干区小学数学团队在经历区域调研、行动研究之后，进一步由点及面类化梳理，初步形成“数学绘本类”“数学文化类”“数学游戏类”“项目学习类”“综合实践类”等各类数学拓展课的基本模型，并就不同课型的教学结构、内容开发、教与学的关键把握等进行共性提炼，为数学拓展课的开发与实施提供很有价值的基本参照模式。本刊特刊登其研究成果，以飨读者。

数学拓展课，通常是指以非教材例题为学习内容，以综合素养发展和活动经验积累为重点，并将学习内容与数学游戏、数学绘本、数学文化、综合实践、现实话题、真实任务等有机整合的课型。

当前，关于数学拓展课的研究，不乏对其价值意义、基本特征的深入研究，不乏对单节拓展课的课例研究。那么，我们能为数学拓展课的教学研究做些什么呢？经过思考，确定了两个可能的方向：其一，还原数学拓展课的设计原理与基本思路，为一线教师设计数学拓展课提供一般的流程框架与程序参照；其二，从“课”到“类”，对数学拓展课进行分类研究与模式构建，对不同课型的教学结构、教与学的关键把握进行共性提炼，为一线教师实施拓展课教学提供一般的实践路径与模式参照。笔者所在团队开发了200余节数学拓展课例，积累了一些经验。下面从“教学设计”“基本样态与模式构建”“基本取向”三个维度展开讨论。

一、数学拓展课教学设计的内容维度与一般流程

有效设计数学拓展课是实施拓展课教学的前提。实践中我们逐渐认识到，指向素养的拓展课教学已经大大超出原来基于教材内容的“教学设计”范畴，没有可依据的明确的教学目标，没有直接可利用的例题材料与内容，教师在进行设计时需要思考以下八个维度的问题：①学科知识：拓展课教学将指向数学学科的哪些知识与能力？②素养目标：期待学习中培育学生哪些方面的素养？③内容资源：选择怎样的内容资源？是某一个热点话题、某一个游戏、某一本绘本，还是某一个史料？④驱动性问题：采用怎样的问题驱动学生深度参与学习？⑤认知策略：问题将引发学生采用哪些学习策略？⑥活动任务：设计怎样的挑战性任务可以导引学生思考？⑦学习评价：如何设计交流评价活动，以促进成果、方法的共享与提升？⑧成果展示：期待学生产生怎样的成果或延伸话题？

下面的框架图（如图1）大致描述了数学拓展课教学设计的基本流程。

图1 数学拓展课教学设计过程框架

以“小区垃圾知多少”这一内容为例，对以上数学拓展课教学设计过程框架作简要阐释。

（1）寻找核心知识，确定素养目标，开发课程内容。数学拓展课教学设计一般有两条路径：路径一，先有课程内容，然后根据内容资源进行教学化处理，确定相应的数学知识能力目标与素养目标；路径二，先有学习目标，包括数学认知层面的核心目标、需要培养的综合素养目标，然后去选择、创生课程内容。两者都需要教师具有较强的课程开发能力。“小区垃圾知多少”属于前者，经历的是内容资源“课程化”的过程。由热点话题引发，挖掘问题所蕴含的数学性和教育性，据此出发形成拓展学习课程。

（2）设计驱动性问题。驱动性问题是拓展课教学设计的关键，直接与整节课的目标指向、学习策略、学习方式相关联。“垃圾问题”可涉及的话题众多，如“垃圾分类问题”“垃圾存放问题”“垃圾处理问题”等等。最后我们选择“一个小区一天会产生多少垃圾”作为驱动性问题，主要考虑几方面因素：①这一问题具有数据分析能力、运算能力、解决问题能力等极为丰富的能力培养要素；②这是一个热点话题，具有鲜明的“环境保护”教育性特征；③学生已有知识基础、经验储备可支持此问题研究；④问题解决的空间较大，解决策略多样。

（3）厘清解决问题的认知策略。设计教学活动之前，教师需要分析学生是如何解决这个问题的，学生所用到的是低阶学习策略还是高阶学习策略。事实上，解决“小区垃圾知多少”的问题，首先，学生需要开展调查，可以“按户调查”“按人调查”“按单元调查”“按幢调查”等；其次，调查方式多种多样，可以向社区咨询、官网查询、调查问卷、实地入户等；最后，问题解决的结果也可不同，可以用“重量”“体积”等方式进行垃圾量的表征。显然，整个问题的解决，学生所用到的策略不是低阶学习层面的信息加工，而是高阶学习层面的推理、分析、问题解决、实验、调查等。

（4）设计学习活动或项目任务。学习活动的设计直接指向学习过程。“小区垃圾知多少”的任务设计，经历了从“提供调查数据—计算垃圾量—体验垃圾量的多少”到“方案设计—方案论证—实践研究—成果交流”的转变。学习任务的转变，实现了从“解题计算”到“问题解决”的转型。为更好地发挥“任务单”的导引作用，教师在项目任务单中，设置了“研究主题”“总体思路”“研究步骤”“可能遇到的困难”等具体内容，让学生经历研究者必须思考的步骤与问题。

（5）设计成果交流与评价方式。无论哪一种数学拓展课，在学生经历探索之后，如何进行交流、分享与评价，都应该成为该课教学设计的重要内容。教师需要从以下几方面进行先期设计：①设计交流方式。是口头汇报、操作演示、PPT汇报，还是视频演示？②设计交流顺序。是并列式交流，还是递进式交流？是每个小组逐一汇报，还是将同类研究的小组整合汇报，其余小组补充？③设计交流侧重。每一个成果交流指向问题解决的同时，是否有不同的价值？一方面，考虑汇报者解决问题策略的不同；另一方面，考虑不同小组的汇报能否对此问题的研究方法、研究过程、研究结果等作方法层面的引导。例如，教师在设计“小区垃圾知多少”的小组交流时，有意识地选择不同的侧重点，如“方案设计的完整性”“样本选取的合理性”“计算方法的巧妙性”“计算结果的体验性（所产生的垃圾量究竟有多少）”等，并根据侧重点逐一进行评点与强化，实现方法策略引导。④设计评价维度。为避免汇报时平面陈述与浅层重复，教师可以设计评价视角：“请你给汇报小组的过程、方法、结果找找亮点，并找找茬。”通过评价，寻找优点、提出质疑、给出建议。指向“亮点”与“建议”的评价，有效凸显解决问题的过程方法与策略取向。

（6）设计成果展示与延伸任务。教师在拓展教学设计之初就需要规划：期待学生产生怎样的学习结果？成果要点有哪些？用怎样的方式呈现？例如“小区垃圾知多少”案例，课中，成果以PPT、微视频形式，通过演讲在全班进行展示。课后，成果以海报、小电影等方式在学校展示。在被调查的社区，通过小区电子屏、海报等方式进行成果展示与“减少垃圾产生，做好垃圾分类”的宣传。

二、数学拓展课的基本样态及模式构建

以一节课、一个项目为切入点展开实践与思考，虽能促进教师对这节课的深入研究，但“就课研课”的形式，认识往往会停留于“只见树木，不见森林”的层面。因此，我们有意识地从“课例研究”转向“课型研究”，试图对拓展课的基本样态进行分类，让每一节拓展课与某一类基本课型或课型变式相对应。通过同类课例的比较、类化与提炼，形成一类课的基本模式。

（一）数学拓展课教学模式提炼的一般过程

之所以提炼数学拓展课的教学模式，是因为模式具有较好的“框架功能”和“程序功能”。框架功能，可以使教师更好地把握教学活动整体及各要素之间的关系；程序功能，则可以更好地反映某一类拓展课的环节、进程与结构，使其更具操作性。

下面以“棋盘中的奥秘”与“神奇的色子”为课例基础，呈现数学游戏类拓展课的模式构建过程（如表1）。

表1 数学游戏类拓展课的模式构建过程

通过以上案例比较，大致可以得出游戏类拓展课的基本模式与操作要点（如图2）。

图2 游戏类拓展课的基本模式与操作要点

当然，以上仅是对游戏类拓展课一般模型的提炼，不同的游戏内容仍会有不同的结构变式。在把握游戏类拓展课基本教学流程的同时，教师仍然有必要进一步思考这类课的其他问题，例如：如何处理好游戏的“热情参与”与“理性思考”之间的关系？如何处理好“知识运用”与“关键能力”的整合？如何处理好“游戏挑战性”与“游戏可接受性”之间的关系？等等。

（二）各样态拓展课的基本模型与操作要点

每一节数学拓展课往往具有各自的特征，很难清晰分类与界定，为便于描述，我们暂将拓展课教学分为“数学游戏类”“数学绘本类”“数学文化类”“综合实践类”“项目学习类”“热点话题类”等。在各样态模式研究的过程中，每一类均经历了“课堂实践”“分类比照”与“模式构建”的过程（如表2）。

表2 数学拓展课典型课例与操作要点

续表

从不同拓展课中选择典型课例进行环节比照、共性提炼，形成各样态的基本模型（如图3）。

图3 数学拓展课基本样态与模式构建

形成一类样态的基本模式，其优势是适用性广泛，易在不同情境、不同主题下迁移应用。但值得说明的是，不同内容、不同主题的同类课并非具有十分统一的结构，每一个样态的基本模型背后，一定会有若干种变式，限于篇幅，不再展开。（部分拓展样态的案例支持与具体模式，可见本期话题后续文章）

三、关于数学拓展课教学的基本取向

（一）追求“数学认知”与“综合目标”的有机整合

数学拓展课并不满足于知识技能的获取、记忆与固化，“学科育人”是数学拓展课的立意之本。那么，定位于整体素养的发展，是不是可以不依托于数学认知呢？我们以为，基于学科的拓展课，仍应追求“整体发展”与“学科认知”两者的和谐生长，而不是脱离于数学认知与思维提升虚空发展，部分课例的目标分析列举如表3。

表3 拓展课例目标分析列举

以上案例的基本思想是着眼于综合素养，坚守学科特质，将“数学认知目标”融于“整体育人目标”中，这应该是数学拓展课的基本取向。

（二）驱动性问题要蕴含丰富的探究性与驱动力

驱动性问题，应该是数学拓展课学习的核心要素。问题设计要蕴含丰富的实践探究性和驱动力，有利于学生通过问题，进行操作尝试、小组合作，发展深度思维。

表3 所列案例中，“估一估120g彩虹糖有几颗”“阅读绘本，创造三角形”“测量人体的表面积”“想办法知道一卷胶带有多长”等驱动性问题，可以是一个真实项目，可以是一个游戏任务，可以是综合实践活动，也可以是绘本阅读中的体验活动。这些问题，大多具备以下特点：能较大程度地激发学生兴趣；与数学知识具有一定的关联性；问题非常规，不易完成；让学生产生小组合作的想法，以便完成任务并取得成功；问题的解决具有一定的空间。

以《探索人体的表面积》为例，实践活动的成功开展，取决于教师选择一个好的驱动性问题：“你会求人体的表面积吗？”问题一经产生，丰富而巧妙的解决策略相应诞生。这个成功拓展案例的驱动性问题具有怎样的特征呢？①情境性。对此情境学生感兴趣，但几乎没有尝试过。②复杂性和挑战性。没有直接可利用的公式、方法与步骤，具有极强的探索性。③可接受性。“表面积”的概念，“求不规则图形的面积”“求长方体、正方体、圆柱表面积”等知识经验，可支持问题解决。④开放性。解决问题策略空间大，“描轮廓法”，将不规则转化为规则；“裹纱布法”“穿睡衣法”，将曲面转化为平面；“直接测量法”，通过圆柱、长方体公式直接计算求得；“查资料法”，帮助学生形成信息获取的意识与能力。

（三）让高阶学习带动低阶学习

高阶学习是一个有意义运用知识的过程，包含六个方面的高阶策略：问题解决、创见、决策、实验、调研和系统分析。要判断数学拓展教学中学生的学习质量，可以看这个学习过程中学生是否运用了这些策略。如果在拓展教学中，一个高阶学习策略都找不到，仅仅停留于信息收集、组织、储存、巩固等低认知策略运用，那么这样的数学拓展课便不是我们所要倡导的。

“垃圾中的数学问题”大量运用了问题解决策略；“单车中的数学问题”主要采用了调研策略；“一卷胶带有多长”主要采用了实验策略，“我是‘毅行’设计师”主要采用了创见策略，学生将发散性思维运用于毅行方案设计中；“棋盘中的奥秘”采用了决策策略；“给杭州市汽车车牌编号”采用了系统分析策略……当然，很多时候的问题解决，认知策略运用并不是单一的，往往会互相关联，协同运用。