郭志勇

一、问题提出

在学习新的原理时，通常需要给学习者提供样例来对该原理进行说明，学习者在解决新的问题时往往要将新问题与先前样例进行类比而寻找解决方法，这是个类比迁移过程. Holyoak等人指出，类比迁移过程有两个主要环节，第一是类比源的选取，即搜索记忆中可供参考的解决方法或可供参照利用的例子，以确定新问题应该用哪个原理去解决，这个环节称为原理通达;第二是关系匹配或一一映射，即把新问题与样例的各个部分进行匹配产生解决问题的方法，这个过程称为原理运用.

作为数学原理形式之一的数学公式，在解题中显然存在原理通达和原理运用两个环节，但用好这两个环节并非易事. 一个典型的例子就是高考解析几何试题中韦达定理的运用，学生在直线与圆锥曲线关系的高考训练中，几乎是围绕韦达定理进行，可是，解析几何仍然圆满地完成了高考考查的任务，没有给考生轻易得分机会. 事实表明，这两个环节有着更为复杂的认知过程和表征形式，本文以高考试题为例，以韦达定理在高考解析几何试题中的应用为载体，从知识表征角度讨论原理通达和原理运用这两个环节，试图揭示其中的困惑.

二、韦达定理表征水平解析

心理学家Ross设计的一系列巧妙的样例实验表明，在解题时所遇到问题和学过的问题的题设条件相似时，题设条件明显地影响原理通达，如果解题者遇到的问题与学过的问题所“套用”公式的程序一样时，题设条件中的隐含条件将影响数学原理运用，或可致使原理运用失败.

根据这个结论，我们根据题设条件将原理通达划分为简单通达和复杂通达两个层次，将原理运用划分为简单运用和复杂运用两个层次. 本文剖析一道高考试题以说明原理通达和原理运用这两个环节. 为行文简洁，以下将所引高考试题重新表述，但不改变原试题结构.

引例（2011浙江理21第2问）：如图1，已知抛物线C1 ： x2=y，圆C2 ： x2+（y-4）2=1的圆心为点M，已知点P是抛物线C1上异于原点的点，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A、B两点. 若过M，P两点的直线l垂直于直线AB，求直线l的方程.

分析：直接想法是，若按题设条件直接由过A，B两点的直线方程联立抛物线C1，构成一元二次方程得到根与系数的关系，从而完成第一个环节“原理通达”，但此法显然行不通.

若挖掘隐含条件以简化坐标点的设置，并利用已知半径加上切线方程构成一元二次方程，由此可完成“原理通达”：

设点P（t， t2），A（t1， t21），B（t2， t22）.

直线PA的方程为y=（t1+t）（x-t）+t2，即（t1+t）x-y-t1 t=0. 由于直线PA与圆C2相切，故=1，化简得：

（t2-1）t21+6tt1+15-t2=0.

同理，由直线PB与圆C2相切可得：

（t2-1）t22+6tt2+15-t2=0.

由此我们可将t1，t2视为关于T的一元二次方程（t2-1）T 2+6tT+15-t2=0的两根.显然t≠±1，有t1+t2=-……①.

至此，获得公式①（根与系数的关系），完成类比推理的第一个环节“原理通达” .

获得根与系数关系后，需将该关系式用以解题，这个过程就是“原理运用”，引例显然需要创造条件才能使用公式①：

直线AB的斜率kAB=t1+t2，以及直线l的斜率kl=■，而klkAB=-■·■=-1，解得t2=■，故kl =±■，从而y=±■x+4.

容易观察到，将直线AB的斜率kAB变形方可应用公式①并最终获得答案，至此，我们完成类比推理的第二个环节“原理运用”.

由上分析可知，原理通达可分为简单原理通达和复杂原理通达，原理运用可分为简单原理运用和复杂原理运用，据此可组合成四个水平的原理通达与原理运用情形：公式简单通达、公式简单运用，公式简单通达、公式复杂运用，公式复杂通达、公式简单运用，公式复杂通达、公式复杂运用. 显然，引例是公式复杂通达、公式复杂运用的水平，下面我们用高考试题解析每个环节的层次性.

三、例析公式表征的4种水平

水平1：公式簡单通达，公式简单运用

例1（2016全国Ⅰ理 20第2问）：设圆A： x2+y2+2x-15=0和椭圆C：■+■=1，直线l过点B（1，0）与x轴不重合，且交C于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

简单通达：设M（x1， y1），N（x2， y2 ），直线l为y=k（x-1）（k≠0），

由y=k（x-1）■+■=1得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，

有x1+x2 =■，x1x2 =■，

简单运用：MN=

■■=■，

过B（1，0）且与l垂直的直线m ： y=

-■（x-1），圆A的圆心（-1，0）到m的距离为■，所以PQ=2■=4■，

故S=■MNPQ=12■，

当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为（12，8■）;

当l与x轴垂直时，其方程为x=1，MN=3，PQ=8，四边形MPNQ面积为12.

综上所述，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8■）.

表征水平1较好地吻合相关的简单高考试题，公式通达表现为根与系数的关系直接根据题设条件，由直线方程与圆锥曲线方程联立构造出一元二次方程获得，公式运用表现为将距离、中点、垂直和向量等几何语言直接转换为代数语言.

水平2：公式简单通达，公式复杂运用

例2（2018北京理19第2问）：已知抛物线C ： y2=4x经过点P（1，2）.过点Q（0，1）的直线l不过点（1，-2），且与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.设O为原点，■=λ■，■=μ■，求证：■+■为定值.

简单通达：设A（x1， y1 ），B（x2， y2 ）.

由y2=4xy=kx+1，得k2x2+（2k-4）x+1=0，知x1+x2=-■，x1x2=■.

复杂运用：直线PA的方程为y-2=■（x-1）.

令x=0，得点M的纵坐标为yM=■+2=■+2.

同理得点N的纵坐标为yN =■+2.

由■=λ■，■=μ■得λ=1-yM，μ=1-yN .

所以，

■+■=■+■=■+■=■·■=■·■=2.

故■+■为定值.

公式复杂运用是将公式置于更为复杂的知识和运算技巧中，运用过程至少存在两个显著的计算步骤.

水平3：公式复杂通达，公式简单运用

例3（2018浙江21第1问）：如图2，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C ： y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴.

复杂通达：设P（x0， y0），A（■y21， y1），B（■y22， y2），

因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2满足方程

（■）2=4·■……①.

将①整理得y2-2y0y+8x0-y20=0，有y1+y2=2y0，

简单运用：由中点为■=y0，可知PM垂直于y轴.

公式复杂通达与简单通达的本质区别在于，前者需要较多知识、技巧和方法参与，后者则是机械操作.

水平4：公式复杂通达，公式复杂运用

例4（2010陕西理20第2问）：椭圆C ： ■+■=1，设n是过原点O的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，■=1，是否存在上述直线l使■·■=1成立？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由.

复杂通达：设A（x1， y1 ），B（x2， y2），P（x0， y0），

因直线l为单位圆的切线，故设l的方程为x0 x+y0 y=1，且x20+y20=1，

由x0 x+y0 y=1■+■=1得（3y20+4x20）x2-8x0 x+4-12y20=0，代入y20=1-x20，

得（3+x20）x2-8x0 x+12x20-8=0，

所以x1+x2 =■，x1x2 =■，

复杂运用：当y0≠0，y1y2 =■·■=■[1-x0（x1+x2）+x20x1x2]=■.

所以x1x2+y1y2 =■<0 ……？譹？訛，

另一方面，假设■·■=1，则有■·■=■■=1，由射影定理有AO⊥BO，所以■·■= 0，故x1x2+y1y2 =0 ，与①矛盾.

故这样的直线不存在.

当y0 = 0时，亦有同样的结论（略）.

四、讨论与启示

如上所知，表征是知识在人脑中的贮存方式. 根据上述四个例子的分析，在数学问题解决中公式通达和公式运用这两个步骤确实存在四个水平，因此，公式应该有四种表征形式，其在解题者的认知结构中应按这四个水平貯存. 水平1表现为机械的算法，属于公式表征的底层认知结构，其表征（贮存）特点是保证算法流畅. 其余三个水平中的复杂通达和复杂运用往往具有一题一法特征，且由题设条件间接获得，亦不再是基本几何概念和代数符号之间的直接转化. 因而，类比推理的公式通达和运用这两个步骤需要在挖掘隐含条件的同时融入认知策略.

综上所述，我们可以得到如下启示：

（1）丰富学生公式表征的不同水平，避免在水平1上重复、持续训练，同时避免不顾学生基础和理解能力，突然跃至高层级的表征水平.

（2）帮助学生由简单到复杂地适应公式的不同应用场景，并将这些场景与公式不同表征水平相关联知识进行分类，如水平1中，根与系数关系的简单通达与直线与圆锥曲线交点直接联系，而根与系数的简单运用则是与距离、中点等基本知识点直接联系.

需要指出的是，本文将公式通达和运用描述为简单、复杂两个水平比较“粗糙”，可加入更多的“变量”来划分公式表征水平，如不同知识板块或运算技巧等.

另外，本文所选试题可能存在更为简单或不用韦达定理的解答思路，如例4：

因为， OA2≥3，BO2≥3，

所以，■·■=■·■=

≥■·■=2>1

故，这样的直线不存在.

这涉及解题策略的探讨，本文不作阐述，需要另行研究.

责任编辑罗 峰