杨铁军，夏贤义，张 怡，罗嘉欣

（1.鄂尔多斯伊金霍洛国际机场有限公司，内蒙古 鄂尔多斯017200；2.内蒙古民航信息科技有限公司，内蒙古 呼和浩特010010；3.中国民航大学经济与管理学院，天津300300）

1 引言

对航空公司来说，航班正常率是衡量其运输系统运行质量和服务水平的重要指标之一。然而，中国目前还未建立起完整的航班延误水平评价体系，更多时候是以航班准点率来对航班延误进行间接评价[1]。

目前对评价问题的研究大致可分为两类：一类是对评价指标体系的研究，另一类是对综合评价方法的研究。由于从多方面对事物进行综合评价难免带有模糊性和主观性，因此采用基于模糊数学的模糊综合评价法可以使结果较为客观，从而获得更好的实际效果。在模糊综合评价模型中，建立单因素评价矩阵与确定权重分配是两项关键的工作，在这个过程中主要存在以下问题：权重通常用确切的数值来表示，不能准确地表征评价对象的特征；由于分配权重主要依靠人的主观判断，当评价因素较多时，很难判断准确；因为各权重通常应具有归一性，当因素很多时，权重必然很小，若模糊矩阵的合成运算是先取小而后取大，便会“泯灭”大量单因素评价的信息，最终无法得出最有效的结果。

许多学者对模糊综合评价方法进行了改进。FENG 等[2]在模糊综合评价的基础上引入人工神经网络（ANN），它的优点是能准确按照专家的评定方法工作。但也存在如下缺点：难以解释和给出实际的物理意义；ANN 模型的性能很大程度上取决于训练样本的数量和质量，而选择合适的训练样本不是一件容易的事。

因此，本文提出了模糊模拟综合评价模型来克服上述缺点。本文模型使用模糊变量代替评价指标权重，用模糊模拟技术处理评价模型，使评价结果更加客观。

2 模糊变量和模糊模拟

在这部分中，首先给出关于模糊变量的一些基本概念和结果，其次介绍了模糊模拟技术，具体内容可见文献[3]、文献[4]。

定义1：假设Θ为非空集合，P（Θ）表示Θ的幂集（即Θ所有子集的集合），Pos 是从P（Θ）到实数集的函数。如果Pos 满足以下条件：Pos（Θ）=1；Pos（φ）=0；对于P（Θ）中的任意集合{Ai}，Pos{∪iAi}=supiPos{Ai}则Pos 称为可能性测度，三元组（Θ，P（Θ），Pos）称为可能性空间。

定义2：设ξ是可能性空间（Θ，P（Θ），Pos）上的模糊变量，它的隶属函数可由可能性测度Pos 导出，即

定义3：假设ξ是可能性空间（Θ，P（Θ），Pos）上的模糊变量。则模糊事件{ξ≥r}的可能性，必要性和可信性可分别表示为其中μ（u）是ξ的隶属函数。

定义4：设ξ为模糊变量，则称为模糊变量ξ的期望值（右端中两个积分至少有一个有限）。

设ξ为离散型模糊变量，其隶属函数为μ（ai）=μi，i=1，2，…，N，不失一般性，假设a1≤a2≤…≤aN。由定义4 可知，模糊变量ξ的期望值为其中权重ωi，分别为i=1，2，…，N。

定义5：如果ξ是从可能性空间（Θ，P（Θ），Pos）到n维欧几里德空间的函数，则称ξ是一个模糊向量。

定理1：数组（ξ1，ξ2，…，ξn）是一个模糊向量，当且仅当ξ1，ξ2，…，ξn是模糊变量。

定义6：假设f：Rn→R是一个函数，ξ1，ξ2，…，ξn是可能性空间（Θ，P（Θ），Pos）上的模糊变量，则ξ=f（ξ1，ξ2，…，ξn）是一个模糊变量，定义为ξ（θ）=f[ξ1（θ），ξ2（θ），…，ξn（θ）]，∀θ∈Θ。

以下给出模糊期望值E[f（ξ）]的模糊模拟过程。假设f：Rn→R是一个实值函数，ξ=（ξ1，ξ2，…，ξn）是可能性空间（Θ，P（Θ），Pos）的模糊变量，则f（ξ）也是一个模糊变量，它的期望值定义为：

根据下面的模糊模拟过程来估计E[f（ξ）]：①置e=0；②分别从Θ中均匀产生θk，使得Pos{θk}≥ε，令vk=Pos{θk}，k=1，2，…，N，其中ε是个充分小的数；③置④从[a，b]中均匀产生r；⑤如果r≥0，那么其中⑥如果r＜0，那么其中重复步骤④至步骤⑥共N次；⑧计算⑨输出E[f（ξ）]。

3 基于模糊模拟的综合评价

本文提出的基于模糊模拟的综合评价方法的基本思想是：先对最低层次的各因素进行综合评价，再对最低层次的上一层次的各因素进行综合评价；依次向上评价，一直到最高层次，得出总的评价结果。为简明起见，下面以两个层次为例进行讨论，更多层次的模糊模拟综合评价可仿此进行。具体步骤如下。

3.1 确定因素层次

假设评价对象第一层次（也即最高层次）的因素集为U=｛U1，U2，…，Un｝，其中Ui（i=1，2，…，n）为第一层次中的第i个因素，它又由第二层次中的m个因素决定，即Ui=｛ui1，ui2，…，uim｝。显然，决定每个因素Ui的下一层次因素的数目不一定相等，即不同的i有不同的m。

3.2 建立权重集

根据每层各因素的重要程度，分别给每一因素赋以相应的权重，此权重用模糊变量来表示，得到各个因素层次的权重集。第一层次的权重集为A=（A1，A2，…，An），Ai（i=1，2，…，n）是第一层次中第i个因素Ui的权重。第二层次的权重集为aij（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）是第二层次中因素Ui的第j个因素uij的权重，此权重用模糊变量来表示。

3.3 建立模糊评语集

根据所求解问题设定模糊评语集为V，V=｛V1，V2，…，Vs｝，其中Vk（k=1，2，…，s）表示评估的第k个等级。本文设s=5，表示{很好，较好，一般，较差，很差}。

3.4 一级模糊模拟综合评价

由于第一层次因素是由第二层次的若干因素决定的，所以第一层次的单因素评价，应是它包含的第二层次中的多因素综合评价，因此一级模糊模拟综合评价应按第二层次中的uij因素进行评价。uij对模糊评语集中第k个元素的隶属度为rijk（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m；k=1，2，…，s），则第二层次的单因素评价矩阵为2，…，n；j=1，2，…，m；k=1，2，…，s。

矩阵中第j行表示对第二层次中第j个因素uij的评价结果。决定因素Ui的因素uij有多少个，Ri矩阵便有多少行；模糊评语集有多少个元素，Ri矩阵便有多少列。rijk的值可以采用专家打分的方式确定，对于准则uij有W1个第V1级评语，……，Ws个第Vs级评语，则有2，…，m。

3.5 二级模糊模拟综合评价

一级模糊模拟综合评价实际上是第一层次的单因素评价，为了对第一层次中的各因素进行综合，必须进行二级模糊模拟综合评价。显然，二级模糊模拟综合评价的单因素评价矩阵，应为一级模糊模拟综合评价矩阵：

于是二级模糊模拟综合评价集为B=A×R=（b1，b2，…，bs），其中按照第二部分介绍的模糊模拟技术进行计算。若可归一化处理，令得到评价结果由模糊模拟综合评价得表示因素集U对于评语集V隶属度。按照最大隶属度原则，可以得出对评价对象的一个总体评价。

4 实例应用

应用上述模糊模拟综合评价模型，对国内某航空公司一个月的航班延误情况进行统计，具体评价步骤如下。

分析决策问题，确定因素层次和权重。参考文献[5]、文献[6]，建立国内某航空公司的航班延误等级评价指标体系，如表1 所示。可以用“Unimportant”“More-or-less Unimportant”“More-or-less Important”“Important”“Very Important”来表示模糊变量（简记为U、MU、MI、I、VI），由专家根据经验将这五个模糊变量用三角模糊变量来表示。因此U、MU、MI、I、VI可以分别记为（0，0，0.2），（0.05，0.25，0.45），（0.3，0.5，0.7），（0.55，0.75，0.9），（0.8，1，1）。

表1 航班延误评价指标体系

根据模糊评语集V确定Ri（i=1，2，3，4），利用表1得到然后进行一级模糊模拟综合评价。Ri和如下：

利用第二部分介绍的模糊模拟方法，在模糊模拟中取5000个样本点，计算Bi=（i=1，2，3，4）结果为：

利用一级模糊模拟综合评价的结果进行二级模糊模拟综合评价的计算：

由表1 知A= [IVIVIMI]，就可以计算B的值。在模糊模拟中取5000个样本点的计算结果为B=A×R=（b1，b2，…，bs）=（0.8332，2.0033，1.1094，1.3206，0.5830），归一化处理后=（0.1424，0.3425，0.1896，0.2258，0.0997）。

这是对该航空公司一个月航班延误情况的综合评价，即该航空公司属于中度延误和严重延误的概率分别为22.58%和9.97%，此数值与该公司的实际航班延误情况符合度很好。

5 结论

本文利用现有的民航统计数据构建了科学系统的航班延误等级指标体系，用模糊变量代替评价指标体系中的权重，提出基于模糊模拟的综合评价模型，克服了现有方法评价过程单一化、主观化的缺点，很好地解决了评价过程中定性指标定量化过程中存在的不够精确的问题。同时，避免了因模糊综合评价中模糊矩阵先取小而后取大的运算而导致评价信息丢失的情况。根据本文所建立的评价模型，经国内某航空公司实际试用表明，该方法能够更加真实、准确地反映航班的实际运行情况，且能有效地支持航空公司运行管理部门的航班延误控制管理，并对航班延误情况进行预测。