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集合与函数核心考点综合演练

2020-09-30刘中亮

中学生数理化·高一版 2020年9期
关键词:偶函数奇函数增函数

刘中亮

一、选择题

1.已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )。

A.{0} B.{1}

C.{1,2} D.{0,1,2}

2.已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( )。

A.{x|-1<x<2}

B.{x|-1≤x≤2}

C.{x|x<-1}∪{x|x>2}

D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}

3.设全集U=R,集合A={x|x≥3},B={x|0≤x<5},则(∁UA)∩B=( )。

A.{x|0<x<3} B.{x|0≤x≤3}

C.{x|0<x≤3} D.{x|0≤x<3}

4.已知集合A={1,2,3},B={x|x2-3x+a=0,a∈A},若A∩B≠Ø,则a的值为( )。

A.1 B.2

C.3 D.1或2

5.设全集U=R,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图1中阴影部分所表示的集合为( )。

图1

A.{x|x≤-1或x≥3}

B.{x|x<1或x≥3}

C.{x|x≤1}

D.{x|x≤-1}

6.某班共40 人,其中24 人喜欢篮球运动,16人喜欢乒乓球运动,6人这两项运动都不喜欢,则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为( )。

A.17 B.18

C.19 D.20

7.已知集合A={0},B={-1,0,1},若A⊆C⊆B,则符合条件的集合C的个数为( )。

A.1 B.2

C.4 D.8

8.已知集合A={1,2,3,4,5,6},B={3,4,5,X},若B⊆A,则X可 以 取 的 值为( )。

A.1,2,3,4,5,6 B.1,2,3,4,6

C.1,2,3,6 D.1,2,6

9.已知a为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为( )。

A.1 B.2

C.4 D.不确定

13.已知函数f(x)=x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为( )。

A.(-∞,1] B.[3,+∞)C.(-∞,-1] D.[1,+∞)

14.设f(x)-x2=g(x),x∈R,若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可以为( )。

A.g(x)=x3B.g(x)=cosx

C.g(x)=1+xD.g(x)=xex

16.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)单调递增,且f(1)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围为( )。

A.{x|0<x<1或x>2}

B.{x|x<0或x>2}

C.{x|x<0或x>3}

D.{x|x<-1或x>1}

17.已知f(x)在R 上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)=( )。

A.-2 B.2

C.-98 D.98

18.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),且在[-1,0]上单调递减,设a=f(2),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系是( )。

A.b<c<aB.a<b<c

C.b<a<cD.a<c<b

(2)小组在分组进行讨论时,教师不是放手让学生去漫无边际地讨论,而是要发挥好“领路人”的作用,这是中职学生的自我学习能力和自觉性局限性所致。当学生讨论的思路偏离或者遇到障碍时,教师要及时提供帮助。

20.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x>0 时,f(x)=x2-x,则 不 等 式f(x)>0的解集用区间表示为( )。

A.(-1,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(0,1)

D.(-1,0)∪(1,+∞)

21.若 函 数f(x)=2|x-a|+3 在 区 间[1,+∞)上不单调,则实数a的取值范围是( )。

A.[1,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,1) D.(-∞,1]

22.已知函数f(x)在[0,4]上是增函数,且函数y=f(x+4)是偶函数,则下列结论正确的是( )。

B.f(2)<f(5)<f(4)

C.f(5)<f(4)<f(2)

D.f(4)<f(2)<f(5)

23.已知奇函数f(x)的定义域为R,当x∈(0,2]时,f(x)=x2+1,且函数f(x+1)为偶函数,则f(2018)+f(-2019)的值为( )。

A.7 B.2

C.-7 D.3

24.已知f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,而且f(x)是减函数,如果f(m-2)+f(2m-3)>0,那么实数m的取值范围是( )。

二、填空题

25.已知全集U=R,集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x<a}。若(∁UA)∩B≠Ø,则实数a的取值范围为____。

26.设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(∁UA)∩B=Ø,则实数m的取值范围为____。

27.对于任意两个集合A,B,定义AB={x|x∈A且x∉B},A*B=(A-B)∪(B-A),记A={y|y≥0},B={x|-3≤x≤3},则A*B=____。

三、解答题

35.若集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0,x∈R},B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2},当A∩B≠Ø时,求实数m的取值范围。

36.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}。

(1)若A∩B={2},求实数a的值。

(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围。

37.已知集合A={x|x<-2或x>3},B={x|4x+m<0},当A⊇B时,求实数m的取值范围。

38.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1 时,函数f(x)=x。

(1)求f(π)的值。

(2)当-4≤x≤4 时,求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积。

39.已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是减函数。

(1)求证:对任意x1,x2∈[-1,1],都有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0。

(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围。

40.设f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数且在(-∞,0)上为增函数。

(1)若m·n<0,m+n≤0,求 证:f(m)+f(n)≤0。

(2)若f(1)=0,解关于x的不等式f(x2-2x-2)>0。

一、选择题

1.提示:由A={x|x-1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},可得A∩B={1,2}。应选C。

2.提示:由x2-x-2>0,可得(x-2)·(x+1)>0,解得x>2或x<-1,所以A={x|x>2 或x<-1},则∁RA={x|-1≤x≤2}。应选B。

3.提示:由题意可得,∁UA={x|x<3},所以(∁UA)∩B={x|0≤x<3}。应选D。

4.提示:当a=1时,x2-3x+1=0,无整数解,则A∩B=Ø;当a=2时,B={1,2},A∩B={1,2}≠Ø;当a=3时,B=Ø,A∩B=Ø。因此实数a=2。应选B。

5.提示:图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)。由A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},可得A∪B={x|x>-1},所以∁U(A∪B)={x|x≤-1}。应选D。

6.提示:记全集U为该班全体同学,喜欢篮球运动的记作集合A,喜欢乒乓球运动的记作集合B,则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A∩∁UB(图略)。易得人数为18。应选B。

7.提示:由题意可得,含有元素0且是集合B的子集的集合有{0},{0,-1},{0,1},{0,-1,1},即符合条件的集合C共有4个。应选C。

8.提示:由B⊆A和集合元素的互异性可知,X可以取的值为1,2,6。应选D。

9.提示:由方程x2-3x-a2+2=0,可得Δ=1+4a2>0,所以方程有两个不相等的实根,所以集合M有2个元素,所以集合M有22=4(个)子集。应选C。

12.提 示:当a≥0 时,不 等 式 可 化 为a(a2+a-3a)>0,即a2+a-3a>0,即a2-2a>0,解得a>2 或a<0(舍去);当a<0时,不等式可化为a(-3a-a2+a)>0,即-3a-a2+a<0,即a2+2a>0,解得a<-2或a>0(舍去)。综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞)。应选D。

13.提示:设t=x2-2x-3。由t≥0,可得x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞)。因为函数t=x2-2x-3的图像的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增。故函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞)。应选B。

14.提示:因为f(x)=x2+g(x),且函数f(x)为偶函数,所以(-x)2+g(-x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数。由选项可知,只有B 中的函数为偶函数。应选B。

15.提示:函数f(x)的定义域为[-3,0)∪(0,3],且f(-x)=-f(x),可得f(x)是奇函数,故图像关于原点对称。应选B。

16.提示:函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)单调递增,f(1)=0。由f(x-1)>0,可得-1<x-1<0或x-1>1,所以0<x<1或x>2。应选A。

17.提示:由f(x+4)=f(x),可得f(7)=f(3)=f(-1)。由f(x)为奇函数,可得f(-1)=-f(1),f(1)=2×12=2。故f(7)=-2。应选A。

20.提示:由f(x)是定义在R 上的奇函数,可得f(0)=0。设x<0,则-x>0。当x>0时,f(x)=x2-x,可得f(-x)=x2+x。又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2-x,x<0。当x>0时,由f(x)>0得x2-x>0,解得x>1 或x<0(舍去),此时x>1。当x=0时,f(0)>0不成立。当x<0时,由f(x)>0得-x2-x>0,解得-1<x<0。综上可得,x∈(-1,0)∪(1,+∞)。应选D。

21.提示:易知函数f(x)=2|x-a|+3的增区间为[a,+∞),减区间为(-∞,a]。因为函数f(x)=2|x-a|+3 在区间[1,+∞)上不单调,所以a>1。应选B。

22.提示:因为y=f(x+4)是偶函数,所以y=f(x+4)的图像关于直线x=0对称,所以函数y=f(x)的图像关于直线x=4对称,所以f(5)=f(3)。又函数y=f(x)在[0,4]上是增函数,所以f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(5)<f(4)。应选B。

23.提示:由f(x)为R 上的奇函数,f(x+1)为偶函数,可得f(x)=f(x-1+1)=f(1-x+1)=f(-x+2)=-f(x-2)=f(x-4),可知f(x)是周期为4的周期函数。故f(2018)+f(-2019)=f(2)+f(1)=5+2=7。应选A。

二、填空题

25.提示:因为A={x|x<3 或x≥7},所以∁UA={x|3≤x<7}。又(∁UA)∩B≠Ø,则a>3。答案为(3,+∞)。

26.提示:由已知A={x|x≥-m},可得∁UA={x|x<-m}。由B={x|-2<x<4},(∁UA)∩B=Ø,可得-m≤-2,即m≥2。故实数m的取值范围为{m|m≥2}。

27.提示:由题意可知A-B={x|x>3},B-A={x|-3≤x<0},所以A*B=[-3,0)∪(3,+∞)。

30.提示:由f(x)=2x-x2,x∈(-2,2],可知f(-1)=-3,f(0)=0,f(2)=0。又f(x)的周期为4,所以f(2018)+f(2019)+f(2020)=f(2)+f(-1)+f(0)=0-3+0=-3。

31.提示:由f(x)是R 上的奇函数,可得f(0)=0。又对任意x∈R 都有f(x+6)=f(x)+f(3),可得当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,可得f(-3)=0,f(3)=0,可得f(x+6)=f(x),可知其周期为6。故f(2019)=f(3)=0。

32.提示:因为f(x)的图像关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x)。又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),可知其周期为4,则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3。

三、解答题

故m的取值范围为(-∞,-1]。

36.提示:(1)由A={x|x2-3x+2=0}={1,2},A∩B={2},可得2∈B,2 是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0 的根,所以a2+4a+3=0,即a=-1或a=-3。经检验a的取值符合题意,故a=-1或a=-3。

(2)由A∪B=A,可得B⊆A。

当B=Ø时,由Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0,解得a<-3。

当B只有一个元素时,Δ=0,即a=-3。同理当B有两个元素时,a>-3。当B≠Ø 时,由B={1},利用韦达理可知a∈Ø;由B={2},利用韦达定理可解得a=-3;由B={1,2},利用韦达定理可知a∈Ø。

综上可知,a的取值范围是(-∞,-3]。

38.提示:(1)由f(x+2)=-f(x),可得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4 为周期的周期函数,所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4。

(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),可得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x),故函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称。

又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图像关于原点成中心对称,据此画出f(x)的大致图像,如图2所示。

图2

设当-4≤x≤4时,f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4。

39.提示:(1)若x1+x2=0,显然原不等式成立。

若x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1。因为f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数,所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0。所以[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)<0成立。

若x1+x2>0,则-1≤-x2<x1≤1。同理可证f(x1)+f(x2)<0,所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立。

综上所述,对任意x1,x2∈[-1,1],都有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0恒成立。

(2)f(1-a)+f(1-a2)<0⇔f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1)。

由f(x)在定义域[-1,1]上是减函数,

40.提示:(1)因为m·n<0,m+n≤0,所以m,n为一正一负。不妨设m>0,n<0,则n≤-m<0。取n=-m<0,由f(x)在(-∞,0)上为增函数,可得f(n)=f(-m)。取n<-m<0,同理f(n)<f(-m),所以f(n)≤f(-m)。又因为f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,所以f(-m)=-f(m),所以f(n)+f(m)≤0。

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