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正确理解函数的概念

2020-09-30

中学生数理化·高一版 2020年9期
关键词:正确理解定义域本题

俞 飞

函数是高中数学的入门知识,是初中数学与高中数学的一个转折点。由于函数的概念抽象,因此同学们学习起来比较困难,甚至会产生一些错误的认识。为了使同学们正确理解函数的概念,需要澄清对函数概念的一些错误认识,下面举例说明。

例1 函数y=f(x-1)中的自变量是x还是x-1?

解:函数y=f(x-1)中的自变量是x。如f(x)=x2-1,则f(x-1)=(x-1)2-1,即f(x-1)=x2-2x,显然函数f(x-1)中的自变量是x,而不是x-1。一般地,复合函数y=f[g(x)]的自变量都是x,而不是g(x)。

例3 已知f(x+1)=x2-2x,求f(x)时,作变量代换t=x+1,得f(t)=t-1( )2-2t-1( )=t2-4t+3,故f(x)=x2-4x+3。这里为什么能将t换成x?

解:我们知道,当且仅当两个函数的三要素相同时,两个函数是同一函数。函数f(t)=t2-4t+3与f(x)=x2-4x+3的三要素都相同,它们是同一个函数,所以能将f(t)=t2-4t+3 中的t换成x。本题实际上是求函数的对应法则,它与表示自变量的字母无关。

例4 函数f(x)=x,x∈0,1{}与函数g(x)=x2,x∈0,1{ }是不是相同的函数?

解:有些同学可能认为这两个函数对应法则不同,因此是不同的函数。这种认识是错误的。对应法则是否相同不能从形式上看,那么怎样判断两个函数的对应法则是否相同呢?

一般地,两个函数f(x),g(x)的定义域相同(设为D),对应法则f与g相同⇔对任意的x∈D,都有f(x)=g(x)。据此可以判断函数f(x)=x,x∈0,1{}与函数g(x)=x2,x∈0,1{ }的对应法则相同,因此它们是相同的函数。

例6 将函数y=f(-2x-1)的图像向左平移1 个单位所得图像的解析式是y=f(-2x)吗?

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