赵彦霞, 杨 和

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

分数阶微积分在控制系统、 统计与随机过程、 黏弹性力学、 人口动力学、 化学技术等领域应用广泛, 关于其稳定性的研究已取得许多成果[1-7]. Alsina等[8]研究了微分方程的Ulam-Hyers-Rassias稳定性; Jung[9]研究了一阶线性微分方程φ(t)y′(t)=y(t)的稳定性; Popa等[10]讨论了线性微分方程的广义Ulam-Hyers-Rassias稳定性; Wang等[11-12]讨论了整数阶脉冲微分方程

和非线性分数阶脉冲微分方程

的广义Ulam-Hyers-Rassias稳定性, 其中:cDq为q∈(0,1)阶Caputo型分数阶导数;f:J×→;Ik:→.

受上述研究结果的启发, 本文首先在Banach空间X中考虑分数阶脉冲积-微分方程Cauchy问题

(1)

其次, 讨论分数阶脉冲积-微分方程

(2)

的e指数型Ulam-Hyers稳定性.

Balachandran等[6]在非线性项f:J×X×X→X连续且满足一致Lipschitz条件的情形下, 讨论了Banach空间中非线性分数阶积-微分方程(非局部)Cauchy问题

解的存在唯一性, 并考虑了其脉冲影响; 文献[7]用相同方法讨论了Cauchy问题(1)解的存在唯一性. 本文用完全不同于文献[7]的方法, 去掉了一致Lipschitz连续的条件, 用Krasnoselskii不动点定理和广义Gronwall不等式分别证明Cauchy问题(1)解的存在性和唯一性, 并讨论问题(2)的e指数型Ulam-Hyers稳定性.

1 预备知识

‖A‖B(X)=sup{‖A(y)‖: ‖y‖=1}

构成的Banach空间.

对于可测函数ψ:J→, 定义范数为

关于分数阶积分和Caputo型分数阶导数的概念参见文献[13].

引理2(Krasnoselskii不动点定理)[14]设B为Banach空间X中的一个非空闭凸子集, 若算子P,Q: B→X满足如下条件:

1) 对∀x,y∈B, 有Px+Qy∈B;

2)P是压缩算子;

3)Q是全连续算子.

则P+Q在B内至少有一个不动点.

引理3(Gronwall不等式)[12]设α>0,a(t)为[0,T)上局部可积的非负函数, 且g(t)为[0,T)上非负不减的连续函数,g(t)≤l, 若u(t)非负, 在[0,T)上局部可积且满足

则

注1[12]在引理3的假设条件下,……