谈世勇 马文政

安徽省合肥一六八中学 (230000)

形如求max{min{f1(x1),f2(x2),…,fn(xn)}}等的问题称为“双重最值问题”．按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题.其中双重最值问题综合性强，难度大，能力要求高.笔者从熟题入手，总结归纳了九种方法，帮助学生提高解决此类问题的能力.

1.利用绝对值不等式

利用绝对值三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求最值，主要是求一些含有双绝对值函数的最值问题，比写成分段函数求最值简单.

例1 求函数f(x)=|x2-a|在区间[-1,1]上的最大值Μ(a)的最小值．

点评：对于解决函数形如f(x)=|ax2+bx+c|,x∈[-1,1]的双重最值问题时，一定是取x=0,x=±1对应的函数值，它们都比最大值小，然后利用绝对值三角不等式求出.

2.利用均值不等式

利用均值不等式求最值，关键在于“拆、拼、凑”，将条件或待求式变形为“和或积”是定值.常见的变形技巧有转化符号、拆补项、配凑系数等.

点评：观察发现三个式子的积可以用均值不等式轻松求出最小值，当然本题目也可以用三个式子的和来求最小值的.

3.利用柯西不等式

柯西不等式在不等式证明中占有重要的地位，柯西不等式在高中数学竞赛中有会成为“常客”，且二维、三维柯西不等式在高中数学中的代数、几何、三角等各个方面都有联系，熟悉这些联系能本质地把握不等式，并更自觉地应用它们.

点评：柯西不等式可以解决整式，分式，与根式的最值问题，通过观察发现分母之和为定值，这恰好就是柯西不等式解决分式的功能.

4.消元法

多元双重最值可以……