摘 要：几何概型是古典概型的进一步发展，处理几何概型问题关键是把问题转化为相应的几何图形，利用图形的几何度量求随机事件的概率。

关键词：几何概型;概率;古典概型

几何概型是古典概型的进一步发展。与古典概型相比较，相同点在于：每一种结果发生的可能性相等。不同点在于：在一次试验中，古典概型中等可能事件只有有限个，几何概型中等可能事件有无限个。

教学大纲对几何概型的难度要求并不高，在练习和复习题中通常以填空或选择题的形式出现。处理几何概型问题不仅要明确概念、掌握公式，更主要的是及时把问题转化为几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。因此，正确选择恰当的几何概型决定了问题解决的成败，下面通过具体例题就几何概型的四种测度简单谈谈自己的看法。

一、 角度型

【例1】 设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点B，与A连接，求弦长超过半径的2倍的概率。

分析：在圆周上任取一点是随机的且是等可能的，符合几何概型的条件。关键是选择恰当的几何量，确定好事件发生的分界点。

解：设圆的半径是r，当弦长恰好为2r时，它所对的圆心角恰好为90°，则要是弦长大于2r，圆心角必大于90°且小于270°。所以所求事件的概率为270°-90°360°=12。

评注：本题是一个与角度有关的几何概型，关键是建立好几何图形与概率问题的联系。

二、 长度型

【例2】 在等腰直角三角形△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AB

分析：在斜边AB上任取一点是随机的且是等可能的，符合几何概型的条件。

解：以点A为圆心作一个小圆，交AB于C′，不妨设AC=a，使AC′=AC=a，则AB=2a，从而所求的概率为AC′AB=a2a=22。

这是与长度有关的几何概型问题。

但是，如果上例作以下变形：在等腰直角三角形△ABC中，过点C作一条射线CM，交AB于M点，求AM

有不少同学可能还是会用以上思路求解。但事实上，如果在AB上再取两点E、D，使得AE=ED=DB，但是∠ACE≠∠ECD≠∠DCB，则过点C作一条射线CM在∠ACE和在∠ECD内的条数不相等，与基本事件的等可能性矛盾。在变形后的题目中基本试验的前提过点C作一条射线CM。当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，是常以角的大小作为区域度量来计算概率的。

正解：以点A为圆心作一个小圆，交AB于C′，连接CC′，则∠ACC′=67.5°，从而所求概率为∠ACC′∠ACB=67.5°90°=34。

所以这成了与角度有关的几何概型问题36π。

三、 面积型

【例3】 两人相约在8点到9点会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，那么两人能见面的机会有多大？

分析：两个人到达的时间是随机的且是等可能的，符合几何概型的条件。

解：设甲到达时刻为x（分钟），乙到达时刻为y（分钟），则0≤x≤60，0≤y≤60，|x-y|≤20，

结合图形可得所求概率为：49。

评注：此题用面积计算，关键是找到两人能见面这一事件发生的所有结果构成的区域。

四、 体积型

【例4】 一个球形容器的半径为3cm，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一种病毒，从中任取1mL，含有病毒的概率是多少？

分析：病毒在水中的分布可以看作是随机的，从中取得1mL水，可看着构成的事件的区域，球形容器内的水的体积可看成做实验的所以结果构成的区域，可以用体积比公式计算其概率。

解：根据题意，球形容器内的水的体积为36π（mL），所以从中任取1mL的水，含有病毒的概率为136π。

评注：用体积计算概率时，要注意所求概率与取出体积的关系。事实上，水中所含病毒的概率只与杯中水的体积有关，因而只需要求得取出水样的体积与原有水的体积的比即可。

总之，拿到一道概率题时，先要分析该题是几何概型还是古典概型。如果是几何概型，解决几何概型的关键是根据题意，弄清题目中的测度是长度、面积还是体积，有时甚至是角度。

作者简介：

徐文明，湖北省襄陽市，襄阳职业技术学院。