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类比思考 融会贯通

2020-09-15吕万江

数学大世界·中旬刊 2020年8期
关键词:对称反比例函数一次函数

吕万江

【摘 要】 在初中学习阶段,对称是一个很重要的数学概念,也是解决问题的思想方法。把对称融入函数的问题,挖掘其对称的特征,会有意想不到的解题效果。

【关键词】 对称;一次函数;二次函数;反比例函数

函数的学习是学生数学思维的一次飞跃,由原来常量的学习过渡到变量的学习,函数就是描述变化规律的一种数学模型。在初中学习阶段接触了三种函数:一次函数、二次函数、反比例函数。接下来,探究三种函数关于x轴、y轴、原点对称的图形的解析式。

在平面直角坐标系中,点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)。利用对称点坐标的特征,就可以得出三种函数关于坐标轴对称图形的解析式。接下来结合实例对三种函数分别进行说明。

一、一次函数

例题1:已知直线y=2x-4,求此直线关于x轴、y轴、原点对称的直线解析式。

方法一:欲求直线y=2x-4关于x轴对称的直线解析式,学生通常的做法是依据数学的一个基本事实“两点确定一条直线”,在直线y=2x-4上任取两点的坐标,根据点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),得到这两个点关于x轴对称点的坐标,再利用待定系数法,求得直线y=2x-4关于x轴对称的直线解析式。利用同样的方法,可以求出直线y=2x-4关于y轴、原点对称的直线解析式。此方法易懂,有利于学生接受,但是运算量较大,在运算的过程中容易出现错误。

方法二:利用对称点的坐标规律,如果两个点关于x轴对称,那么这两个点的横坐标不变,纵坐标互为相反数。顺着这个思考方向,如果两条直线关于x轴对称,那么这两条直线上所有的对称点的横坐标都相等,纵坐标都是互为相反数。也可以这么理解:已知直线解析式与所求直线解析式中x的值是相同的,y的值是互为相反数的。所以可以不改变直线解析式y=2x-4中x的值,用-y代换解析中y的值,就可以得到直线y=2x-4关于x轴对称的直线解析式。利用同样的方法,不改变直线解析式y=2x-4中y的值,用-x代换解析中x的值,就可以得到直线y=2x-4关于y轴对称的直线解析式;用-x代换解析中x的值,用-y代换解析中y的值,就可以得到直线y=2x-4关于原点对称的直线解析式。

二、二次函数

例题2:已知抛物线y=x2-2x+2,求此抛物线关于x轴、y轴、原点对称的抛物线的解析式。

方法一:在没有任何铺垫的情况下出示此题,学生会从顶点式入手解决问题。把一般式y=x2-2x+2化成顶点式y=(x-1)2+1,而抛物线y=x2-2x+2关于x轴对称的抛物线形状大小与原抛物线相同,但开口方向相反,可知所求抛物线的二次项系数为-1,顶点坐标与原顶点坐标关于x轴对称,因此,抛物线y=x2-2x+2关于x轴对称的抛物线的解析为y=-(x-1)2-1。此方法直观形象,也有利于学生接受。再用同样的方法,可求抛物线y=x2-2x+2关于y轴、原点对称的抛物线的解析式。

方法二:仿照例题1的方法一,学生需要找到原抛物线上的三个点,再根据点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),得到这三个点关于x轴对称点的坐标,再利用待定系数法,求出抛物线y=x2-2x+2关于x轴对称的抛物线的解析式,此方法计算量大,增加出错的机率。

方法三:仍然利用對称点的坐标规律,如果两条抛物线关于x轴对称,那么这两条抛物线上所有的对称点的横坐标都相等,纵坐标都是互为相反数,因此可以不改变抛物线解析式y=x2-2x+2中x的值,用-y代换解析中y的值,就可以得到抛物线y=x2-2x+2关于x轴对称的抛物线的解析式。利用同样的方法,就可以得到抛物线y=x2-2x+2关于y轴、原点对称的抛物线解析式。此方法可以快速求得所要的解析式。

立足于学生已有的知识基础与经验,在探究一次函数关于坐标轴对称图形的解析式的过程中,不断引导学生用类比的方法,通过点对称轻松求出二次函数、反比例函数的对称图形的解析式,从中感悟共同之处,并体会其中所蕴含的思想方法。

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