复合材料机翼前缘柔性机构拓扑优化设计

2020-09-14赵立杰常莹莹李景奎

机械设计与制造 2020年9期

赵立杰，李凯，常莹莹，李景奎

（1.沈阳航空航天大学通用航空重点实验室，辽宁沈阳 110136；2.沈阳航空航天大学民用航空学院，辽宁沈阳 110136）

1 引言

柔性机构的应用研究已成为结构优化设计的热点[1]。与传统机翼相比，柔性机翼能够实现前后缘结构的连续形状变化[2]。这种机翼可随飞行条件的改变自动改变机翼的形状，进而提高飞机飞行性能[3]。柔性机构前后缘可变化机翼的设计思想最初由文献[4]提出。文献[5]用基础结构法对机翼后缘柔性机构进行了拓扑优化设计。文献[6]采用SIMP 刚度-密度插值法获得了清晰的机翼前缘拓扑结构。文献[7]利用载荷路径法对柔性机翼前后缘进行拓扑优化设计。文献[8]采用SIMP 插值和遗传算法相结合的方法，得到了稳定的拓扑结构。

目前对于机翼前后缘柔性机构的拓扑优化研究多以单相各向同性材料为主。相比于单相材料，纤维增强复合材料因其材料性能优越，广泛应用于航空航天、汽车等诸多行业[9]。而复合材料的铺层铺角方式直接决定着材料的力学性能，对复合材料铺层铺角的优化设计成为学者关注和研究的重点。文献[10]对在轴向压力和剪力下四边简支层合板的最优纤维铺设方向进行了优化设计。文献[11]最早采用遗传算法优化设计常刚度层合板铺层。文献[12]将神经网络与遗传算法相结合应用于复合材料铺层铺角的优化。文献[13-14]基于多相材料拓扑优化原理提出一种复合材料铺层铺角优化方法—离散材料优化（DMO）法。文献[15-16]将DMO 法的材料插值格式与SIMP 和RAMP 相结合，提出了统一拓扑和多相材料优化的材料插值方案。

根据复合材料离散材料优化（DMO）法的原理，以0°、30°、45°三种常用纤维铺角的碳纤维复合材料与空体材料一起作为四相材料，采用统一拓扑和多相材料优化的材料插值方案建立复合材料柔性机构拓扑优化模型[16-17]，对机翼前缘柔性机构进行拓扑优化设计。

2 复合材料机翼前缘柔性机构拓扑优化

2.1 离散材料优化（DMO）法原理

离散材料优化（DMO）法是对文献[17]三相材料（两相实体材料，一相空体材料）拓扑优化思想的扩展，由三相拓展到任意相，将复合材料铺层铺角优化设计问题转化为离散材料优化问题，是一种广义上的多相材料插值模型。DMO 法对复合材料纤维铺角的优化时，以常用的纤维铺角如15°，30°等作为备选纤维铺角，一种角度的复合材料作为一相材料。单元材料要在备选的不同纤维铺角的复合材料之间进行选择。将DMO 法与拓扑优化相结合优化设计机翼前缘柔性机构，单元材料在不同纤维铺角的复合材料和空体材料之间选择。文献[15]拓展了经典拓扑优化材料惩罚模型，提出统一拓扑和多相材料优化惩罚模型，其公式可表示为：

式中：Deβ—第β 个单元的弹性本构矩阵；

Dα，β—第β 个单元第α 种备选材料的弹性本构矩阵；

m—备选材料（备选铺角和空体材料）的种类数；

xα，β—第 β 个单元第 α 种备选材料的人工密度；

p—惩罚指数。

2.2 复合材料强度理论

2.2.1 复合材料基础理论

复合材料单层的纤维铺角有无穷多种，每一种角度对应一种新的材料，应力状态也是无数种，因此各种不同应力状态下复合材料的强度不可能靠实验来确定，需通过建立一定的强度理论，将复合材料的应力和基本强度联系起来。复合材料独立的工程弹性常数有4 个：EL，ET，vLT，GLT。EL为沿纤维方向弹性模量，vLT为垂直纤维方向弹性模量，GLT为泊松比，为面内剪切模量。复合材料单层在材料主方向坐标系下的强度共有5 个：Xt，Xc，Yt，Yc，s。Xt—纵向拉伸强度；Xc—纵向压缩强度；Yt—横向拉伸强度；Yc—横向压缩强度；s—面内剪切强度。这5 个基本强度是相互独立的。单层的4 个工程弹性常数和5 个基本强度是复合材料的基本力学性能。

2.2.2 应力的坐标转换

在复合材料单层中取一单元体，其材料主方向坐标系和参考坐标系的夹角为θ，如图1 所示。Oxy 坐标系为参考坐标系（偏轴坐标系），OLT 坐标系为材料主方向坐标系（正轴坐标系）。x 轴和L 轴之间的θ 角以x 轴逆时针转到L 轴为正。则应力转化表达式可表示为：

图1 材料正轴坐标系与偏轴坐标系Fig.1 Material Positive Axis Coordinate System and Off-Axis Coordinate System

2.2.3 蔡—吴（Tsai-Wu）张量失效判据

目前对于复合材料强度失效的判据有多种，由于复合材料失效的复杂性，没有一个失效判据应用于所有复合材料，采用的是应用最广泛的蔡—吴[18]张量多项式失效判据，也称应力空间失效判据。其公式可表示为：

2.3 建立拓扑优化数学模型

选定机翼前缘上10 个离散点的实际位移与目标位移的偏差为目标函数，以各备选材料体积分数作为约束，建立数学模型。表达式为：

由式（5）～式（11），可得到基于离散材料优化（DMO）法的复合材料机翼前缘柔性机构模型的目标函数表达式及其敏度表达式。

2.4 设计变量更新

采用OC 优化准则法求解拓扑优化问题，OC 优化准则法的变量更新方案为[20]：

式中：mβ—移动极限常数，取值0.2；η—阻尼因子，取值0.4；λ—拉格朗日算子，取值二分法中的中间值。

2.5 数值不稳定现象的处理

拓扑优化过程中易出现棋盘格，网格依赖性等数值不稳定的现象，采用文献[21]中的过滤方法处理，敏度过滤表达式：

式中：Ne—与单元e 的中心距Δ（e，d）小于过滤半径rmin的所有单元数。γ 取10-3，Hd—权重系数，表达式为：

3 拓扑优化的实现

采用MATLAB 编写程序实现该机翼前缘柔性机构的拓扑优化设计，实现过程的具体流程图，如图2 所示。

图2 拓扑优化流程Fig.2 The Process of Topology Optimization

4 算例分析

4.1 柔性机翼前缘结构拓扑优化设计

以NACA2418 标准翼型前缘为研究的对象，翼型弦长d=1000mm，取机翼前缘截面长250mm，宽200mm 的区域为初始设计区域，如图3 所示。灰色区域为设计域，白色区域为非设计域。A，B 两端施加约束，中间位置施加驱动力150N。

图3 初始设计区域Fig.3 Initial Design Area

机翼前缘初始线上10 个离散点的初始坐标值与偏转10°后的坐标值及加权因子ωi，如表1 所示。采用碳纤维增强复合材料，材料性能及强度，如表2 所示。选择0°、30°、45°三种常用角度复合材料与空体材料作为备选材料，根据相关复合材料力学知识，可以求得这三种纤维角度复合材料的弹性本构矩阵分别为：D0°、D30°、D45°，另取空体材料弹性本构矩阵Dk，共四相材料。根据式（1）建立拓扑优化插值模型。体积约束分别为v1=0.12，v2=0.12，v3=0.1，v4=0.66，惩罚因子p=3，移动极限常数mβ=0.1，驱动力F=150N。