吴平辉

在数学这门科学发展的进程中有一系列问题、悖论都与“无限”有关.如果只在有限的范围内讨论数学问题，我们就不会遇到麻烦.但即使在自然数中，我们也无法回避“无限”.对任意的自然数m，都有紧跟其后的自然数m+1，这样推下去，就知道自然数的个数是无限的.庄子的“一尺之棰，日取其半，万事不竭”也涉及“无限”.准确地说，这里的“无限”只是一种变化的趋势，而并非是一个确定的对象。

实无限与潜无限这两个概念既是哲学上的概念，也是数学上的概念.潜无限是指一个不可完成的动态过程，永远处于生成的状态之中;实无限则把无限看成现实存在的，已经生成了的对象.以自然数列0，1，2，3，…为例，潜无限主义者认为，这样的递增是无穷无尽的;实无限主义者认为，尽管自然数的数列是无限递增的，但是这个数列存在一个极限，这个极限就是阿列夫零。

历史上，对实无限的概念在数学中应用的合理性问题曾有过长期的争论.例如，直觉主义者对数学中的实无限概念持否定的态度;形式主义者认为实无限的对象是不具有任何客观意义的.但他们同时又都认为，出于方法论的考虑，仍然可以把非有限的成分作为理想元素引入到数学中来;柏拄图主义者对数学中的实无限概念非但持肯定的态度，而且还认为，实无限的对象具有客观实在性。

亚里士多德第一次把“无限”区分为潜无限和实无限两种形式.亚里士多德承认每一个自然数的存在，但没有将自然数看作实无限，相反，它们可以表征为潜无限，因为全体自然数不可得，不能被人们所认识.事实上，亚里士多德将无限看作永远没有完竭的过程.无限没有起点，没有终点，存在一个“后续”，每一项永远和前面的项不同.这个过程永远不能完成，称之为潜无限.比如，数数的过程需要有时间才能完成，这是人力达不到的，受时间的局限，人们无法数完所有的数.在他看来，无限永远处在构造中、永远完成不了、是潜在的.然而，亚里士多德并没有完全拒绝无限概念的应用.因为它是真实存在的，比如时间，可以无限分割;空间，似乎是没有止境的。

大多数的古希腊数学家认为无限是一个不着边际的、不确定的概念，却又无法回避的.笛卡儿认为：“无限可以被认知，但不能被理解.”高斯于1831年7月12日写给他的学生舒马赫（schumacher）的信说，“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式，当人们确切地说到极限时，是指某些比值可以任意地趋近它，而另一些则允许没有界线地增加.”柯西也不承认无穷集合的存在，因为部分能够同整体构成一一对应，在他看来是矛盾的。

但康托尔却持有与绝大多数数学家相反的观点.他在集合论中大胆而明确地引进了实无限集，由此得到超限数（即超越了有限的数）.他在1886年写给维万提的信中说，实无限必须肯定，因为，（1）无理数理论的建立必须以这样或那样的实无限为基础，戴德金分割或他本人提出的基本序列都假定实无限存在;（2）承认作为变量的潜无限必然要承认实无限.变量既然能取无穷多个值，就要有一个从其中取值的“域”，这个域必然是一个实无限集，而且应该先行给定才能有固定的基础.也就是说，潜无限实际依赖于一个逻辑上优先的实无限.他认为一个无理数在用小数表示时，就涉及到实无限集.在给奥伦贝的信中他给出了几个实无限的例证，其中包括“一切正整数”和“圆周上的一切点”.他还证明了数学中存在无限多个大小不同的超限数，并研究了这些数所具有的性质，在无限中建立起一套严密的数学理论。

20世纪初期，康托尔的集合论已在不少数学分支中应用，有成为整个数学的基础之势.不过，他也清楚地意识到：“我使自己与数学中关于无限的观点和关于数的本质的普遍观点处于对立位置.”康托尔认为高斯、哥西和莱布尼兹等人关于“实无限不可能”的一切证明都是错误的.因为“这些证明一开始就被期望那些数具有有限数的一切性质，或者甚至于把有限数的性质强加于无限数.可是，这些无限数能够以任何形式被理解，正是由于它们和有限数是对立的.它们必须具有全新的数量特征，这些性质完全依赖于事物的本质特性……而并非来自我们的主观论断或我们的偏见.”他的理论的核心是对应和对等（等价）的概念.他规定无论用什么方法，只要两个无限集合的元素之间能建立一一对应关系，就说这两个集合的超限数相等;若无论用什么方法都不能在两个无限集合之间建立一一对应关系，并且在对应的意义下甲集合的元素总比乙集合的元素多，那么就说甲集合的超限数比乙集合的超限数大.无限集合和超限数将遵循新的不适用于有限集合和有限數的法则.在这些法则中最基本的是：无限集能与它的真子集在元素间建立一一对应关系;加法和乘法运算对序数一般不能交换;势相同的两个无限序集的序数可以不同。

根据上述观点，康托尔证明了正整数集等价于有理数集而小于实数集;一个单位线段上的点与平面上的点、全宇宙的点、甚至n维空间的点的超限数都是一样大;对于任一超限数集合都可以得到比它更大的超限数集合，这就是该集合的幂集。

下面以证明开区间（0，1）中的点与单位正方形内的点一一对应为例来说明康托尔解决问题的基本思路和方法。

设t是（o，1）内的点，（z，y）是单位正方形内的点，t、x、y均用无限循环或无限不循环小数表示，把x与y的小数部分从左往右按顺序一组组分开，每组皆止于第一个不为0的数字，与（x，y）对应的点t则取“O.（第1组）第一组（第2组）第二组（第3组）…”，其中1，2，3，…取自x，一、二、三、…取自y，这一“映射”显然是可逆的.故通过它建立了两者间的一一对应关系.在有限集合中，集A的子集的数目为2IAI，康托尔将这一结论推广到无限集合.他引进了表示整数集合基数的符号XO（读作阿列夫零）和表示实数集合基数的符号c，并证明了2xO=c，提出在XO和c之间不存在其他超限数的猜想（该猜想也常称连续统假设）.这就是希尔伯特23个问题中的第一个问题。

在发展超限数基数理论的同时，康托尔还提出了超限数序数理论，与其对应的是有序无限集合.如果用∞表示有序自然数集的序数，则可用ω+4表示序数集{1，2，3，…，1，2，3，4}的序数.而{1，2，3，…，ω}的序数是ω+1.他还将超限序数也分为不同的级别，并引进ω·ω（即ω），ω，ωω等符号.由此可以得到的合乎逻辑的结果是：由所有序数组成的集合具有比该集合中最大的序数还要大的序数.但这一结论又“自相矛盾”.

康托尔的超限数理论虽然解决了不少长期悬而未决的数学问题，但因它改变了很多人对事物的习惯看法，所以也招来不少批评和反对.连他的老师克罗内克都与他争辩了长达10年之久，甚至骂他是骗子.他在超限数理论中向前走得越远，反对的呼声越高.庞加莱甚至说这一理论是邪气与病态的坟墓.不过，康托尔的理论也得到不少有识之士的充分肯定.罗素称许说：“解决了先前围绕着数学无限的难题可能是我们这个时代值得夸耀的最伟大的工作.”希尔伯特则满怀信心和喜悦地赞扬道：“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去。”

潜无限与实无限是相互排斥的两个概念.从古到今一些著名的哲学家和数学家都明确地表示了自己赞同或不赞同什么，由此形成“潜无限论者”和“实无限论者”两大派别.属于前者的有亚里士多德、高斯、克罗内克、克莱因、庞加莱、布劳威尔、外尔等人，属于后者的有柏拉图、康托尔、戴德金、外尔斯特拉斯、希尔伯特、罗素、怀特海、策梅罗等人。

我国现代数学家徐利治先生提出了如下一个新的观点，值得我们特别关注.他认为“‘潜无限’与‘实无限’都是‘单相性思维’所产生的概念，凡数学概念都要求具有确定的二重性质，故也必然是单相性抽象的结果.”当概念（如自然数序列）具有“双向（无限）性”时，便会导致矛盾，形成悖论。

需要补充说明的是，正如几何学上的圆是绝对完美的理想事物，在现实中并不存在那样的.含有无限多元素的实无限N也并不存在于现实中，而只是反映某种客观实在关系的理想事物。

从表面上看来，康托尔在古典与近代集合论中、柯西在极限论中融入实无穷观点，但事实上，集合论和极限论中都包含潜无限和实无限这一对矛盾，并且近现代数学系统中的那些涉及无穷观的子系统，往往都是兼容了潜无限和实无限的系统。