摘 要：二项式定理是初中多项式乘法的拓展延伸，是高考的必考内容，经常以填空题或选择题的形式出现，从近三年的全国卷的高考试题来看：试题难度不大，多为容易题或中档题.笔者结合近几年来的高考备考经验发现，在二项展开式中系数和问题与系数最值问题中容易出现两类错题，下面就这两类易出错问题介绍一下自己的浅见，供大家参考.

关键词：二项式定理;系数和;系数最值;准确性;规范性

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0018-02

收稿日期：2020-09-05

作者简介：高振宁（1983.4-），男，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

二项式定理是历年高考的必考内容，考查的方式相对比较稳定，主要考查以下两点：（1）考查二项展开式的通项公式，包括求展开式的指定项、常数项、有理项等.（2）考查二项式系数的性质，特别关注赋值法处理系数和以及二项式系数和问题.笔者在研读文[2]后，

发现解答二项式定理问题中的两种常见错误.

错误类型1 二项展开式中系数和易错问题

根据二项式定理，可以得出常见形式的二项展开式（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn，文[2]中指出，设f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f（x）的展开式各项系数之和为f（1），奇数项系数和为a0+a2+a4+…=f（1）+f（-1）2，偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=f（1）-f（-1）2.需要指出，二项展开式不一定是升幂排列的，比方说，（2x+1）n=C0n（2x）n+C1n（2x）n-1+…+Cnn（2x）0，当然写作（2x+1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn形式上是可以的，但实际上是不准确的，很容易出错.不论怎么书写，明确奇数项系数和与偶数项系数和还是要靠二项展开式的通式，实际上当n为偶数时，（2x+1）n的展开式中奇数项系数和为a0+a2+a4+…+an，偶数项系数和为a1+a3+a5+…+an-1，升幂排列，还是降幂排列没有区别，当n为奇数时，（2x+1）n的展开式必须写作（2x+1）n=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，奇数项系数和为an+an-2+…+a1，偶数项系数和为an-1+an-3+…+a0，如果此种情况下利用升幂排列式两者是颠倒的.下面一个此类问题的具体题目来展示一下.

例1 （2020山东新泰中学高二期末考试）已知（2x-1）n的二项展开式中，奇数项的系数和比偶数项的系数和小37，则

C1n+C2n+C3n+…+Cnn=（  ）.

A.28  B.28-1  C.27  D.27-1

错误解答 设（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，令x=-1，得（-3）n=a0-a1+a2-a3+…+（-1）n-1an=-（3）7，

故（-3）n=-（3）7，得n=7.则C1n+C2n+C3n+…+Cnn=27-1.

错因分析 因（2x-1）n=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，则当n为偶数时，偶数项系数和为S偶=an-1+an-3+…+a1，奇数项系数和为S奇=an+an-2+…+a0.令x=-1得（-3）n=S奇-S偶=-37，显然无解.

当n为奇数时，偶数项系数和为S偶=an-1+an-3+…+a0，奇数项系数和为S奇=an+an-2+…+a1.令x=-1得（-3）n=S偶-S奇=37，因n为奇数，故也无解.此题是一个错题，如果把（2x-1）n改成（1-2x）n，利用升幂形式的二项展开式，就可以求出正确答案.二项展开式应该严格按照通式展开，必须明确是升幂展开式还是降幂展开式.

错题类型2 二项展开式中系数最值易错问题文[2]中指出，求系数最大的项采用不等式法，設第r+1项系数为Pr+1最大，则有以下不等式成立.

Pr+1≥Pr，Pr+1≥Pr+2.但是在实际过程中，此种方法是有应用范围限制的，注意到0≤r≤n-1，r∈N，则只有系数最值不是首尾两项时才可以使用.用下面的一个例题来展示说明.

例2 求（2x+14x）8展开式系数最大项和最小项.

错误解法 设（2x+14x）8的第r+1项为Tr+1，则Tr+1=Cr8（2x）8-r（14x）r，即Tr+1=28-rCr8x16-3r4.不妨设第r+1项的系数最大，则可得

28-rCr8≥29-rCr-18，28-rCr8≥27-rCr+18，解得2≤r≤3，因r∈N，故r=2，3，系数最大的项为：T3=1792x5/2和T4=1792x7/4.

设r+1项系数最小，则可得28-rCr8≤29-rCr-18，28-rCr8≤27-rCr+18，解之r≥3，r≤2，

无解.故系数最小的项不存在.

正确解法 同错误解法，Tr+1=28-rCr8x16-3r4，设第r+1项的系数是tr+1，则tr+2-tr+1=27-rCr+18-28-rCr8=27-rCr8（6-3r）r+1.而r∈N，则r=0，1时tr+2>tr+1，当r=2时tr+2=tr+1，当r≥3时tr+2<tr+1，可得

t1<t2<t3=t4>t5>t6>…，故系数最大项为T3=1792x5/2和T4=1792x7/4，

t1=256，t9=1，故系数最小的项是T9=1x2.

传统解决二项式系数最大项与最小项问题的方法是不等式法，设Tr+1项系数最小，隐含着系数最小项的r范围是1≤r≤n-1，但实际上0≤r≤n.不等式法求解最值项的三个不足之处：（1）需要解两个不等式，计算量较大;（2）不等式组有解时，说明系数最值在中间项取到，若不等式组无解，并不是系数最值项不存在，而是说明最值项不在中间项，而是在首尾两项中取得;（3）不等法的运用有局限性，不等式组只能反映局部关系，不能反映整体情形.系数数列的单调性法成功地克服了不等式法的局限，可以完美解决系数最值问题.但是利用系数单调性法在确定其单调性时利用的是作差法，一定是tr+2-tr+1，需要特别注意0≤r≤n-1这个范围.从整体上来看，系数数列单调性法有非常大的优点，希望在以后的教学中，摈弃不等式法，推广系数数列单调性法.

参考文献：

[1]张永花.二项式定理及其应用[J].中学数学教学参考，2020（03）：69-72.

[2]朱德意.二项式定理及其应用[J].中学数学教学参考，2019（04）：52-55.

[责任编辑：李 璟]