摘 要：2017版的课程标准对复数版块做了一些调整，增加了复数的三角表示. 全国卷Ⅱ（理科）第15题考查的是复数知识，而其他几套全国高考卷，都是和往年一样，在第一题或第二题考查复数，这不得不说是一大改变和创新. 于是通过研究发现利用向量法、几何法、三角表示法、传统法等五种方法可以解决第15题，虽然方法繁简有别，但是不同的方法体现了不同的数学思想.

关键词：高考;复数;向量;三角;几何

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0034-02

收稿日期：2020-09-05

作者简介：卢会玉（1981-），女，甘肃省天水人，本科，中学高级教师，从事高中数学教育研究.

今年的高考全国卷整体来说还是一如既往的延续了平稳中创新的风格. 有老师和学生说题目难的主要原因是创新题目较多，思考反射弧较长导致的. 笔者注意到全国卷Ⅱ（理科）第15题考查的是复数知识，这相对其他几套高考卷对复数的考查，不得不说是一大改变和创新，是在打破一类问题程序化的解答模式，也体现了数学迁移的思想. 下面就是笔者对该题的几种解答.

全国卷Ⅱ（理科）第15题：设复数z1，z2满足|z1|=

|z2|=2，z1+z2=3+i，则|z1-z2|=.

解法一 设向量a对应复数z1，向量b对应复数z2，则

由|z1|=|z2|=2，可得|a|=|b|=2，由z1+z2=3+i，可得a+b=（3，1），则|a+b|=2.

所以a2+2a·b+b2=4，即a·b=-2，

则|a-b|=a2-2a·b+b2=23，即|z1-z2|

=23.

评析 本解法是利用复数与向量的对应关系，将代数问题转化为向量问题解决，过程非常简洁，但是对思维要求较高. 学生一旦能顺利地将问题进行转化，那么问题就迎刃而解.

解法二 设z=z1+z2=3+i，则z对应的点为M（3，1），且|z|=2，设z1对应的点为A，z2对应的点为B，又|z1|=|z2|=2，则点A，B，M在圆x2+y2=4上，且由z=z1+z2可知OAMB为菱形，则z1-z2为菱形的另一条对角线BA，在△OAB中，可求得|z1-z2|=23.

评析 本解法是利用复数与复平面内的点的一一对应关系，将代数问题转化为几何问题求解，对思维要求较高，要求学生能利用复数的模长相等以及平行四边形法则，发现所求|z1-z2|即是菱形的另外一条对角线，从而转化为等腰三角形边长的计算问题.

解法三 由|z1|=|z2|=2可设z1=2（cosα+isinα），z2=2（cosβ+isinβ），

则z1+z2=2（cosα+cosβ）+2（sinα+sinβ）i=3+i，所以cosα+cosβ=32，sinα+sinβ=12.将两式平方相加可得：cosαcosβ+sinαsinβ=-12，则cos（α-β）=-12.

又z1-z2=2（cosα-cosβ）+2（sinα-sinβ）i，

所以|z1-z2|=2（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=22-2cos（α-β）=23.

評析 本解法是利用复数的三角形式解决问题，考查了两角差的余弦公式，突出对数学知识整体性的考查，对思维的要求较高.

解法四 设z1=a+bi，z2=m+ni，则|z1|=a2+b2=2，|z2|=m2+n2=2，即a2+b2=4，m2+n2=4.又z1+z2=（a+m）+（b+n）i=3+i，所以a+m=3，b+n=1.将两式平方相加可得：a2+b2+m2+n2+2am+2bn=4，则am+bn=-2.

又z1-z2=（a-m）+（b-n）i，

所以|z1-z2|=（a-m）2+（b-n）2=a2+b2+m2+n2-2（am+bn）=23.

评析 本解法是利用传统的设复数的代数形式解决问题，对思维的要求较低，过程中注意运算技巧即可，运算量较大.

解法五 设z1=a+bi，则z2=（3-a）+（1-b）i，故|z1|=a2+b2=2，|z2|=（3-a）2+（1-b）2=2，

即a2+b2=4，a2+b2-23a-2b=0，则a2+b2=4，3a+b=2.

又z1-z2=（2a-3）+（2b-1）i，

所以|z1-z2|=（2a-3）2+（2b-1）2

=4a2+4b2-43a-4b+4

=4（a2+b2）-4（3a+b）+4=23.

评析 本解法也是利用传统设复数的代数形式解决问题，只是引入的变量减少了，其余要求和解法四相同.

2017版的课程标准对复数版块做了一些调整，增加了复数的三角表示，上述解法中可以看到如果用三角表示法求解，无疑是一种不错的方法. 课程标准中指出，几何与代数是高中数学课程的主线，在必修课程与选择性必修课程中，要突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解. 这是帮助学生体会数学思想的重要途径，也是提高学生核心素养的最有效的方法.

在复数的教学中，应注重对复数的表示及几何意义的理解，避免繁琐的计算与技巧训练. 复数作为一类重要的运算对象，通过对复数的学习，可以帮助学生通过方程求解，理解引入复数的必要性.

  参考文献：

[1]2020年全国Ⅱ卷高考数学试题.

[责任编辑：李 璟]