孙赵倩

摘 要：“角的度量”一直以来是小学数学度量教学中的难点，尽管学生花了大量的时间来训练，可还是会有许多学生出现不会摆量角器、内外圈刻度读错、内外圈方向读反等错误。量角如果仅作为一项技能，只需要模仿与训练，但对量角工具及操作技能本质，是否会让每一个学生都理解？为此，教学“角的度量”一课前，先对学生进行了前测，了解学生已有的认知水平，并对人教版内容的更改进行了分析，了解到改版从掌握技能转向理解原理的导向意图。基于尊重每一个的小班化教育理念，在实践中采用了“在感受统一度量单位后再认识角的度量单位1°角”、制作“量角器”、“理解度量单位累加这一量角的本质”等方式，引导学生自主探索、小组合作学会量角，收到了理想的教学效果。

关键词：理解原理;度量单位;量角器;单位累加

“角的度量”一直以来是小学数学度量教学中的难点。2011版课标中对于这部分内容的学习提出了明确的要求：“能用量角器量指定角的度数，能画指定度数的角。”为了降低学习难度，于是把量角和画角分成两个课时分开教学。本文讨论的是量角。

量角是一项技能。通常，老師们也把“角的度量”定位为一节技能训练课，往往是先简单介绍一下角的单位“度”;然后直接介绍量角器的结构：中心点、0刻度线、内外圈刻度;再介绍量角的方法：点对点、边对边、读刻度;最后进行大量的量角技能训练。尽管学生花了大量的时间来训练，可还是会有许多学生出现不会摆量角器、内外圈刻度读错、内外圈方向读反等错误。看似周全缜密的技能训练过程，怎么会事倍功半？这是一个值得思考的问题。

一、前测调查，基于学情——“了解每一个”

在学习之前，先抽取了本校三（5）班、三（6）班（共62名学生）和四（5）班、四（6）班（共73名学生）进行了前测，并对前测结果进行了剖析。

1.角的度量技能之一：是否认识量角的工具？

其中在“你选择的是什么工具”一题中（如图1）

调查显示，选择量角器作为工具的三、四年级共有80人，占测试人数的59.26%，能正确写出量角器名称的共有32人，占测试人数的23.70%;有48人不能准确地写出这种工具的名称，并创造出了许多其他名称，如圆尺、半圆尺、角度尺等。访谈时，询问“你怎么从学具袋中选择了这个工具来量角？”，三年级的同学中，因为有1人提前学过该内容，所以明确这是量角器，其余写出“半圆尺”“圆尺”“角度尺”的名称的同学，是因为“学具袋中只有直尺、三角尺和这个圆尺，直尺和三角尺是量长度的，不是量角的，所以选择那把圆尺”。四年级的同学，因为本册教材早已下发，接受教材的暗示以及学本单元之前，老师要求学生提前买好量角器，所以知道量角器的名称。

随后对测试中30名能够说出量角器的四年级学生进行访谈，发现有43.33%的学生能够大致说出量角器上有什么，但仅6.67%的学生能够用准确的语言描述量角器的构造。根据前测种种结果表明，学生听说过量角器，但对于量角器的构造认识模糊。

以上种种说明，有一部分学生听说过量角器，并能精准地表达名称，但相对其它计量单位的学习和接触来说，还是属于比较少的。

2.角的度量技能之二：学生会用量角器量角吗？

前测发现，有80人正确选择了用量角器作为工具去测量角的大小，那么他们都会量吗？

统计发现，对测试题3中四个角的度量是否正确如表2所示

可见虽然选对了测量工具，但绝大部分学生没有掌握测量的方法。正是由于量角器的构造特殊，而学生在生活中又很少接触，所以认识量角器，并掌握使用量角器方法还是有难度的。

3.角的度量储备之三：学生能直观比较“角的大小”吗？

前测访谈中发现，学生能直观知道角的大小，一般是依赖直觉，用描述性的语言“头如果尖尖的角，角就比较小，头如果不是尖尖的，角就比较大”;有时候也会知道生活中的角“坡度比较陡，就是与水平线的夹角大;坡度比较平坦，就是与水平线的角度小”，学生通过“角的初步认识”一课学习，已经知道“角的两边叉开越大，角就越大”;要比较“角的大小”，学生会拿一个直角去比较，这个角比直角大，还是比直角小，但不知道会大多少或者小多少。

4.角的度量储备之四：学生是否知道“度”这个角的度量单位？

前测访谈中，设计了提问“在说角的大小的时候，你听说过“度”来表示吗？如果听说过，请举例“。经过访谈，学生是知道“度”这个名称，举例的时候，学生往往举例是“直角是90度”，但不明确“度”是测量角的大小的“单位”。可见，学生并不知“度”的作用，更不知“度”何以来？

二、分析教材，纵横比较——“以学生为主体”

1.横向比较：6套版本教材关于“1°的角”的呈现的思考

参考新课程标准下的六套教材，分别是人教版四上《数学》、北师大版四上《数学》、苏教版四上《数学》、浙教版四上《数学》、西南师大版四上《数学》和青岛版四下《数学》。

不难发现：6套教材中有3套教材有意识地安排了统一度量单位的内容。如青岛版给出两个角比较大小，先用三角尺去比较，再用活动角去比较;苏教版在给出一个角后，用三角尺上的三个不同大小的角分别去度量，然后给出“为了准确地测量角的大小，要有统一的计量单位和度量工具，量角器就是度量角的工具”这样的结论;北师大版给出了两个差不多大小的角，一个学生用直尺上的直角去量，另一个学生用三角尺上的角去量，由于度量单位不统一而且比较大就量不出结果，然后选择用更小的角作为标准角来度量，并且提示如果标准角再小一些就更精确了。

价值思考：为什么用1°角来作角的度量单位？为什么不是其它大小的角做度量单位？为什么要用量角器来量角，而三角板却不能作为量角工具？……这一系列的问题，学生都不清楚，虽然不会影响量角这个操作技能，但这禁止了学生的思考，限制了学生的思维发展，正因为如此，这么多套版本的教材开始关注“追本溯源”，而不再简单地告诉学生“角的度量单位是1°角”，这是一种导向，关注每一个学生的思维品质发展，才是我们价值所在。

2.纵向比较：人教版2011前后“角的度量”编排差异的思考

比较1：2011版课标出现后，角的度量，人教版发生哪些改变？

相比之间：教材关于“角的度量”的例题，两套版本出现以下4项差异：

差异一：2011版教材增加了“第三方参照物”比较角的大小。

差异二：2011版教材大篇幅增加了“角的度量”的原理阐述。

差异三：2011版教材标示了“量角器认识”的两个重要部位名称。

差异四：2011版教材摈弃“半圆等分180份”，而是从“圆周等分360份”认识1度的角。

综上所述，毋容置疑，关于角的度量，2011版课标后，教材发生的变动是比较大的，彰显了“以学生为主体”的理念，所以小班化教学中，更需要唤醒孩子们的主动探索，通过合作探究，“角的度量”让学生知其然而更知其所以然，不让学生沦为“度量操作工”。

比较2：2011年后人教版教材改变，呈现了什么样的理念？

人教版2004版教材（如图2）编排思路为课题导入—出示量角器—认识量角器—介绍用量角器的方法—试着量角。它的特点是教师主导，重点突出，着力点在于让学生掌握量角这种技能。缺点是学生对于量角器的产生及其使用不清楚，仅仅是会操作而已，学生自主学习的探索空间显得不够，学生基本处于“被探究”的处境。

相比之下，2011版人教版教材做了相当大的改动，2011版教材先让学生感悟用较小的角作为单位可以度量较大的角，从而进一步感受---将若干个单位小角进行拼合后就形成了量角器;再对量角器上各个部分的作用进行理解。

相比而言，2011版教材的编排，课堂引入---用三角板作为工具比较角的大小---需要一个合适的角作单位来量---将圆平均分成360份---每一份所对的角的大小是1°---根据这一原理，人们制作了量角器---量角练习。

很显然，2011年后的人教版教材，它希望体现以学生为主体，重点在于探索和经历量角器产生的过程，在理解原理的基础上形成技能。

比较3：为什么“1度的角”是“把圆周平均分成360份”，而不再是把“半圆平均分成180份”？

从学生学情看，学生对于“周角360度”认识，比“半圆180度”更容易理解，學生会有“平角180度”的建构，但对与“半圆180度”又有新的挑战，何况“半圆是全新的概念”。

从概念的精准度而言，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。半圆是圆的一半，而我们的日常使用的量角器是半圆形的。半圆和半圆形是不同的概念。人教版教材“角的度量”一课的内容从半圆工具到360°周角的转变，规避了半圆概念，明确了1°是度量角的单位，是表示一个小角的大小，而不仅仅是量角器上的一根线，这样使教材更加得严谨，体现了精准的数学精神。

从教师主导走向学生主体，从“技能操练”走向“理解原理”，“从小概率学生可能会质疑半圆180度”到“360度圆中得到1度的角”，体现了“尊重每一个”，“发展每一个”的价值导向。

三、教学实践，基于价值选择——注重思维发展历程

1.充分感知角的度量单位，不再一笔带过

度量是指出某个物体具有多少个单位的某种属性。度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。1°是角的度量单位。所以角的度量，其本质是1度的角的叠加，总之，角的度量单位，绝对不可以一笔带过，必须让学生感受统一度量单位后再认识。

在实践教学中是这样做的：先出示两个角，请学生估一估∠1和∠2谁大？学生根据已有数学经验提议用活动角进行比较（如图4），在此引导学生以小组合作的形式用大小一样的小角去比较大小（如图5），发现∠1刚好包含这样的三个小角，∠2刚好包含四个这样的小角。总结用小角比的方法，再量∠3，发现它比四个小角还多一点点（如图6），请小组讨论怎么能知道多的一点是多少？引发感想：需要用一个更小的角来拼。多小的角比较合适呢？学生很容易想到了1°这么小的角。再来介绍这个人们早就规定好了的“1°角”：人们将圆平均分成360份，其中的一份所对的角的大小叫做1度（记作1°）（见图7）。通常用1°作为度量角的单位。

课堂实录片段：

教师揭示课题后------

师：黑板上有两个角，请你猜猜哪个角大？

生：∠2大。

师：同学们的猜测都是凭眼睛看的，你能想个办法来证明下你的猜测吗？

生：用活动角

（请学生上台演示）

师：（出示10个大小一样的小角）用它们能比较出这两个角的大小吗？

（请一组学生上台，其他小组下面合作进行）

（总结小角比的方法，出示∠3，学生量角后得到四个小角还有剩余）

师：有没有办法知道这多出来的一点到底是多少？

生：把小角分得细一点，小一点。

师：分到多少算小呢？

生：1度。

师：为了更加精确量出角的大小，人们将圆平均分成360份，其中的一份所对角的大小就叫做1度，记作1°。度是我们计量角的单位……

这样的处理不仅渗透了统一度量单位的思想， 而且有意识地让学生感受到当一个度量标准取得越小时， 度量的结果就越精确。

2.因需“创造”量角器

测量工具是为了取得目标物的某些属性值而进行测量所需要的第三方标准。量角器是量角的工具，是小学阶段学生所接触到的结构最复杂、读数最易错的工具。

通过对已经学过“角的度量”的5名五年级学生的访谈，其中5人都能准确说出量角器的构造，但当问到“量角器上为什么要有中心点、为什么有180个刻度”这样的问题时，一般只能回答诸如 “因为中心点要和顶点对牢的、因为我们量的角是180°以内的”。可见，学生只是认识了量角器，并没有从原理上理解量角器为什么要这样设计。量角器和角之间的联系被割裂开来了。

面对这样的情况，进行了如下教学实践：

（1）在学生认识了单位1°角后，为了方便，我们先研究圆的一半，请学生在半圆中找到1个1°角。

（2）借助1°角的累加，在简化的半圆工具上发现10个1°角组成了1个10°角。

（3）出示50°角和125°角，请学生数一数为了不用每个角都“数”出来，学生提议给半圆工具标上一圈刻度。

（4）出示一个开口相反的30°角学生感受到要方便读出这样的角必须再标上一圈刻度。

（5）屏幕展示的就是我们现在用来量角的工具---量角器，介绍量角器的各部分名称。

（6）同桌互相介绍量角。

这样教学，不仅动态直观地展示了量角器的发生过程，让学生理解量角器原来是180个1°角的集合这一本质，而且为学生更好地使用量角器量角铺平了道路。在教学中多了一份不学自会的明朗，积累了丰富的数学活动经验。

同时，量角器的制作过程是由360°的圆周角引入，当所量角比180°还大时，学生自然就会想到把两个180°的量角器拼起来形成360°量角器。这已不仅仅是认识工具了，而是在进行伟大的创造！

3.理清原理，从记忆方法走向本质理解

新课程标准提出的教学建议中指出，数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。教师应解释数学知识的实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等。在基本技能的教学中，不仅要让学生掌握技能操作的程序和步骤，还要让学生理解程序和步骤的道理。

（1）分析后测，理清“量角”出错的类别与根源

以往教学中，老师们总会煞费苦心地编一些儿歌或口诀，如“中心对顶点、零线对一边、它边读刻度、内外要分辨”，学生也会背得滚瓜烂熟。老师在纠错时又会一遍一遍地核对点对了吗、边对了吗、内外圈对了吗。可即便这样，学生仍然会在读内外圈刻度时出错，要么内外圈读反、要么从左往右还是从右往左的方向反了，而且一错再错。通过对已经学过“角的度量”的本校五（8）班34名学生进行了调查：测量下列4个角的大小（见图9），结果如图10，错误率高达67.65%，而表3分析错误原因所示。

以上调查可以看出，学生虽然知道量角的步骤，但量角的准确率依然很低，而且大多数错误原因在于对量角本质“度量单位的累加”不理解。机械的模仿与记忆量角方法，不能从根本上解决量角时出现的问题。

（2）以学生为中心，从量角本质入手，分解教学难度

根据前测和对往届学生的后测，就有了个性化精准学习的可能，在教学实践中，在建立度量单位1°角的概念后，非常注重学生经历度量单位累加的过程。学生在先从半圆工具里找到1个1°角，然后找到10°角，并且用1°角的累加验证10°里有10个1°角。再让学生合作找到50°角，让学生用手势演示累加数，一边引导学生自我总结：“50个1°角组成了1个50°角，1个50°角由50个1°角组成”，“5个10°角组成了1个50°角，1个50°角由5个10°角组成”。再出示125°，30°…让学生充分地体验和描述度量单位累加的过程。并且，在云平台读数环节进行知识巩固，除此之外，也需重视让学生说出量的过程，如，手势表示从右边数起，6个10°和3个1°组成了63°。

这样教学后，学生对于量角的本质是十分清晰的：所量角的大小可以由若干个1°角累加而成，量角器上有180个1°角累加后的结果，借助量角器上的1°角就能量出所量角的大小。学生只要知道自己是从哪边开始数起的，就不会因为读哪圈刻度而苦恼，并且可以大大减少方向性的错误。课堂练习三（如图10）全班仅有1人测量错误也印证了这一点。但在练习过程中出现一学生尽管度数量对但量角器放反的情况（如图11），这也是在下次课中需要强调的。

（4个角全对为正确）

在教学后，又对于本班学生（34人）做了后测：测量下列4个角的大小（见图9）。结果如图13所示，同样的后测与对照班相比，正确率从32.35%提高到85.29%，效果显著。

从以上数据我们可以看出，学生拿到量角器后不会摆的情况很少了，学生头脑里非常清楚地产生了每一个角都是由若干个1°角累加而成的印象。相比与五（8）班的调查反馈，发现这样的教学实践后，量角的正确率大大提高，而且学生的内外圈读反、方向读反等常见错误也有所减少，这样教学，很好地突破了量角技能的难点。

四、实践反思，基于个性化教育的几点探索

1.追本溯源，促成“四为课堂”的发生

教育的个性化是教育现代化的重要体现。自有教育以来，对个性化学习的追求，从来没有停止过。个性化的教学，更是小班化教育的不懈追求。

面对“角的度量”这个技能教学难点，采用简单的教学模式显然是行不通的，技能的习得确实需要模仿与训练，但技能教学不等同于技能的模仿与训练，我们更需要让学生理解原理，溯本求源，基于对操作工具、技能操作过程本质的理解，才能让学生知其然也知其所以然，才能使学习真实发生。

为此，我们促成“四为”课堂的发生：“以生为本”，我们研究学生，進行前测，对往届学生进行后测，了解学生起点路径和错误教训，以达到“私人定制”的前奏;“以标为纲”，我们研究目标，对比教材，对目标的导向价值进行分析，以达到“校本细化”的铺垫;“以学为主”，我们以学定教，让学生会学乐学，事实表明，学生感受统一度量单位后再认识单位1°角、经历量角器的发生过程、理解度量单位累加的量角本质后，能够更为准确地量角的大小;“以导为方”，革新教法，引领指导，教师准备了大量的简约的半成品，让学生在自主探究中完成“量角器”的创造，并运用“云数据”测量等电子化手段，让学生快速精准获得测量结果，享受成功快乐。

2.板块设计，学生有更多的自主探究的时空

基于“个性化教学”，基于“儿童立场”的核心素养和关键能力的思考，我们有了非常精准的起点测试和错误掌控，更有了精准的目标导向，于是我们对“角的测量”有了板块化设计，这让教师有更多精力关注孩子的学习，为个性化教学提供可能;教学中再也不急吼吼地让学生反复操练强化，而是让学生静心思考，认真观察1°角的来源，理解量角器为什么能量角，为培养深度思考力提供可能;在“经历量角器的发生过程”和“理解量角的本质”这两个板块，充分提供动手素材，让学生充分展开讨论交流，展现思维过程，为转变思维模式提供可能。

参考文献：

[1]葛玲.小学数学直观教学的实践与思考[J].江西教育， 2019（27）：71.

[2]王晓升.浅谈学生几何直观能力的培养[J].课程教育研究，2019（37）：118.

[3]廖芬顺.培养小学中年级学生几何直观能力的策略研究[J].亚太教育， 2019（6）：79-80.

[4]张楠.几何直观，小学生必备的数学素养[J].数学学习与研究，2019（13）：157.