沈峥铃

摘 要：立体几何证明是高中数学教学的重要组成部分，也是许多学生的学习困难所在。尤其是在高一阶段，学生对于立体几何的证明，几何全部依赖于对于空间中线、面关系的理解。但是同时，逻辑关系混乱等问题始终制约着学生的有效学习。将空间中的线线、线面、面面关系进行重组，搭建结构化的逻辑链，引导学生在攻克证明困难的同时，培养逻辑推理能力。

关键词：立体几何证明;逻辑结构;逻辑推理

1、立体几何学习中的困境

立体几何证明题中，多会出现遗漏、错用、混用证明条件的情况。诸如线面平行的判定定理中，很多学生会遗漏“”、“”的条件;又如面面平行中，已知“”可以推出“”，部分同学就会混用在面面垂直中，由“”，推出“”。

此外，不能选择合适的辅助线，不清楚怎么运用、选取条件的情况依然存在，导致不少人以白卷收场。在与学生的交流中，往往会出现“老师讲的时候是会的，自己做就不会的情况。”学生的知识体系混乱，对于基础知识间的联系缺乏了解，在独立提取知识的过程中就会出现了断层。更甚者，哪怕思路正确，个别学生也无法整合条件，证明过程冗长没有条理。

可以看出，立体几何证明的障碍主要有以下几个方面：空间想象能力障碍，逻辑思维能力障碍和语言表达的障碍。其中，语言表达障碍也受到了逻辑思维的影响。基于此，为了培养学生的空间想象能力，发展学生的逻辑思维，引导学生从机械地模仿到理解，最终内化知识，搭建合理的逻辑结构是很有必要的。

2、搭建“金字塔”助力逻辑推理

以立体几何证明中常见的线线、线面、面面关系为基础，搭建一个三层的“金字塔”。

从纵向来看，金字塔分为3层，每一层中，除了书本给出的判定定理、性质定理外，还包括了常用的公理，定义。整个金字塔中，唯一可以跨层的地方在于“面面平行线线平行”，其他每一层的证明只能逐步攀登，不可跨层。诸如想要证明面面平行，必须遵循“线线平行线面平行面面平行”的路径。从横向来看，将立体几何证明分为了“平行”与“垂直”两部分，彼此证明互不影响，唯一交叉的地方在于可由“线面垂直”推出“线线平行”，即由“a⊥α，a⊥α”推出“a//b”。此外，对于一些容易混淆的定理，可以用图形提供更直观的感受，加强对定理条件的理解和记忆。在线线垂直这一部分，除了题目直接告知的两直线垂直条件，还可以根据题目提供的数据，计算出垂直关系，甚至在共面条件下，平面中的一些性质定理也可以沿用。

对于具体题型，注意“目标”和“条件”，在金字塔中选定起始位置，之后结合目标和条件，选择恰当的证明路径，找全定理所需条件，推出结果。

3、逻辑结构——“金字塔”在证明题中应用

例1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点.求证：EG∥平面BB1D1D。

分析：从目标角度进行分析，线面平行处于金字塔的中间层，下可由线线平行得到，上可由面面平行得到。故而解题这一问题，既可

在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，由“线线平行”推出“线面平行”;也可以过EG构造一个与平面BB1D1D平行的平面，由“面面平行”推出“线面平行”。

法一：（线线线面）如图2，取B1D1中点O，连接OG，OB

法二：（面面线面）如图3，取中点

例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD，ABAD，CD=2AB，平面PADABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（1）PA底面ABCD;

（2）平面BEF平面PCD.

分析：从目标角度进行分析，问题（1）中要证的线面垂直处于金字塔的中间层，下可由线线垂直得到，上可由面面垂直得到。再结合“平面PADABCD”这一条件，可知应由“面面垂直”推出“线面垂直”。此时应注意，由“面面垂直”得到“线面垂直”必须满足四个条件，缺一不可。问题（2）中要证的面面垂直处于金字塔的最顶端，因而只能由它的下一层线面垂直所推出。因此，在平面BEF中找一条线垂直平面PCD，或者在平面PCD中找一条线垂直平面BEF。而这类线面垂直，在这一题中，只能由线线垂直来推出。因此，第（2）问应该按照“线线垂直线面垂直面面垂直”的逻辑来推导。

4、小结

高一学生在开始学习空间立体几何证明的时候，由于空间想象力，逻辑思维能力方面的不足，会出现比较多的问题，基础比较薄弱，学习缺乏主动性的孩子尤甚。一方面，教师在教授定理的时候要注意图文结合，演示这个定理所对应图象的生成过程，让学生有更直观的感受。特别是每个条件的必要性，当缺失条件时，画出缺失条件后的图象，验证定理的不充分。同时在验证每一个判定条件的过程中加强对知识内在联系的理解。另一方面，在新授知识之后，一定要重视对知识的梳理和整合。对于基础比较薄弱的孩子，逻辑关系越简单清晰，越有助于理解和掌握。因此，搭建一个“金字塔”，将知识逻辑结构化，便于初学者快速有效地提取条件，尝试证明。而在证明过程中，除了强调“路径”的选取，也应重视学生书写的完善性。

不可否认，对于一些学生而言，他们的学习可能源于模仿，特别是女生对立体几何知识理解的少，临时记忆居多。这种模仿一开始是机械的，困难的，但在这样一种追寻知识踪迹的过程中，知识本身的逻辑会慢慢浮现。如果学生能理解乃至内化这些逻辑关系，那么他们就会从不同的线面角度，多样化地证明同一道题。甚至当他们建立起平面几何证明和立体几何证明之间的联系后，他们会更有创造性地去看待问题。逻辑思维的培养本身是一个缓慢的过程，在这个过程中，我们要接受失败，允许尝试，也要时刻严格要求。

参考文献

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