林革

美籍华裔物理学家李政道曾给中国科技大学少年班的同学出过下面这道趣味数学题：在一个荒岛上，一堆桃子是五只猴子的公共财物. 有一天，5只猴子睡着了，后来有1只猴子醒来，将桃子平均分成5份，多出1个，它吃掉了这个桃子并带走了自己的1份; 第2只猴子醒来，它不知道伙伴已取走一份，就将剩下的桃又平均分成5份，多出1个，它吃掉了这个桃子并带走了自己的一份; 以后每只猴子醒来都照此办理. 请问：原来最少有多少个桃子？剩下多少个桃子？

这是在西方极为流行的一道趣味数学名题，有关此题的各种变化版本很多，流传甚广. 当然其解法也有许多，有些解答颇为耐人寻味. 下面就向大家介绍常见的三种解答方法.

解法1：不妨假设第1只、第2只、第3只、第4只、第5只猴子分的一份桃子数分别为a，b，c，d，e，根据题意画出如下示意图，不难看出上下行中虚线的关联：

4a = 5b + 1， ①

4b = 5c + 1， ②

4c = 5d + 1， ③

4d = 5e + 1， ④

将①两边扩大4倍得：

16a = 20b + 4. ⑤

将②两边扩大5倍得：

20b = 25c + 5. ⑥

将⑥代入⑤得：

16a = 25c + 9. ⑦

对③④同样处理可得：

16c = 25e + 9. ⑧

类似地，将⑦两边扩大16倍得256a = 25 × 16c + 144. ⑨

将⑧两边扩大25倍得25 × 16c = 625e + 225. ⑩

将⑩代入⑨得256a = 625e + 369.

则a =  =  =  =  - 1.

a是整数，则必为整数，而625和256互质，所以e + 1肯定是256的倍数. 既然要求这堆桃子的最少数，那么e + 1 = 256，则e = 256 - 1 = 255，即第5只猴子带走的一份至少为255个.

结合示意图逆向倒推：第4只猴子带走的一份d = （255 × 5 + 1） ÷ 4 = 319（个）;第3只猴子带走的一份c = （319 × 5 + 1） ÷ 4 = 399（个）;第2只猴子带走的一份b = （399 × 5 + 1） ÷ 4 = 499（个）;第1只猴子带走的一份a = （499 × 5 + 1） ÷ 4 = 624（个）. 则这堆桃子原来最少有5a + 1 = 5 × 624 + 1 = 3121（个），剩下的桃子为4e = 4 × 255 = 1020（个）.

反思：这种“关联贯穿”的解答策略就是牢牢抓住“前次剩下数为后次分配数”的关系，用字母代替数，由此及彼快速地构建贯通桥梁，以题意的“最少”作为范围限制，得出唯一可能，使问题迎刃而解.

解法2：把这堆桃子添加4个，加上原先多余被吃掉的1个桃子，则第1只猴子来分时，恰好能分为5份（每份比原来多一个），它走后，留下了4份，这4份比原来留下的4份多4个桃子; 同样第2只猴子来分时，由于现在留下的比原来留下的多出了4个，所以又可以恰好分成5份（每份也比原来多一个），它走后，留下了4份，这4份比原来留下的4份多4个桃子;依此类推，每只猴子都可以把桃子分成5份. 这样最后一只猴子分桃时，可设桃子为5k（k为整数）个，是第4只猴子分剩下的4份，这时1份为5k ÷ 4，则第4只猴子分桃时的桃子数为（5k ÷ 4） × 5 = 25k ÷ 4;显然，25k ÷ 4也是第3只猴子分剩下的4份，这时1份为（25k ÷ 4）  ÷ 4 = 25k ÷ 16，则第3只猴子分桃时的桃子数为（25k ÷ 16） × 5 = 125k ÷ 16;第2只猴子分桃时的桃子数为（125k ÷ 16） ÷ 4 × 5 = 625k ÷ 64;第1只猴子分桃时的桃子数为（625k ÷ 64） ÷ 4 × 5 = 3125k ÷ 256. 因为桃子数为整数，所以k肯定是256的倍数. 又要求桃子数最少，只能是k = 256，则第1只猴子分桃时的桃子数为3125，减去当初添加的4个桃子，可知这堆桃子至少有3125 × 1 - 4 = 3121（个）. 剩下的桃子为4k - 4 = 4 × 256 - 4 = 1020（个）.

反思：这种解答策略是“添加凑整”，就是把这堆桃子添加4个后，使每只猴子分配桃子时都恰好等分没有多余，从而就绕开了令人头疼的障碍，使原先复杂的问题得以简化.

解法3：为了避开使问题复杂化的多余情形，我们不妨大胆想象，假定这堆桃子可以均分5次，并且每次都可分成5等份，那么这堆桃子的个数至少应该有5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3125（个）. 这样，第1只猴子取走一份5 × 5 × 5 × 5，还剩下（5 × 5 × 5 × 4） × 5，仍能均分成5份;第2只猴子再取走一份5 × 5 × 5 × 4，还剩下（5 × 5 × 4 × 4） × 5，也能均分成5份;第3只猴子再取走一份5 × 5 × 4 × 4，还剩下（5 × 4 × 4 × 4） × 5，还能均分成5份;第4只猴子再取走一份5 × 4 × 4 × 4，还剩下（4 × 4 × 4 × 4） × 5，仍能保证第5只猴子均分5份.

事实上，这堆桃子总数不能被5整除，而是必须减去1后才能被5整除，这堆桃子的个数就是3125 + 1 = 3126（个）. 而5次5等分之前都减去1个，合计减去5个，则这堆桃子至少有3126 - 5 = 3121（个）.

反思：这种解答策略是“假设调整”，就是假设每次都能5等分的理想情境，然后根据题意条件进行适当调整. 这种解答策略具有“U型”思维的鲜明特征，以迂回达成高效，以另辟蹊径达成目标，不仅易于领会便于理解，而且能讓人从茅塞顿开的指引中恍然大悟击节赞叹.

（作者单位：扬州职业大学）