陈 阳，王 涛

(辽宁工业大学理学院,辽宁 锦州 121001)

1 引言

作为一种新兴技术，区间二型模糊逻辑系统[1 - 5]已被成功应用在许多有较高不确定性和非线性特征的领域。尽管如此，自从广义二型模糊集的α-平面(或称z切片)表达理论[6-9]被几个不同的研究小组提出后，学术界许多关注从区间二型模糊逻辑系统转向了广义二型模糊逻辑系统。由于广义二型模糊逻辑系统计算复杂度被显著降低，这使得它们在近几年逐渐被应用在如边缘检测[10]、模糊控制[11]和预测[12]等具有较强不确定性领域。广义二型模糊集的次隶属度介于0～1，所以它们可看成比区间二型模糊集更高阶的模糊集参数模型。随着设计自由度增加，广义二型模糊逻辑系统在处理某些不确定性问题上比区间二型模糊逻辑系统更有潜力。

广义二型模糊逻辑系统一般由模糊器、规则库、推理机、降型器和解模糊器5个模块构成，如图1所示[9]。降型是系统的核心模块，它把二型模糊集映射成一型模糊集，而解模糊化又把一型模糊集变成明确输出值。当前最流行的改进Karnik-Mendel EKM(Enhanced Karnik-Mendel)算法具有保持不确定性在上级和下级隶属函数之间流动的优势。尽管如此，这类算法计算很密集。Liu等人[13,14]给出了EKM算法初始化理论解释，并扩展EKM算法为3种不同加权形式的加权EKM WEKM(Weighted EKM)算法计算区间二型模糊集质心。为了提高计算效率，邢海花等人[15]提出了一种二分搜索改进Karnik-Mendel BEKM(Binary-search EKM)算法计算区间二型模糊集质心。这些工作为研究广义二型模糊逻辑系统质心降型奠定了一定的基础。

Figure 1 A general type-2 fuzzy logic system图1 一个广义二型模糊逻辑系统

基于广义二型模糊集的α-平面表达理论，本文讨论了广义二型模糊逻辑系统的模糊推理、降型和解模糊化等模块，并提出用BEKM算法完成广义二型模糊逻辑系统质心降型。通过2个计算机仿真示例阐述了BEKM算法相对于EKM算法的表现，当计算系统质心降型集右端点时，BEKM算法在不损失计算精度的前提下明显快于EKM算法。

2 广义二型模糊逻辑系统

从推理角度考虑，广义二型模糊逻辑系统可分为Mamdani型[16]和TSK(Takagi-Sugeno-Kang)型[11,17]。这里研究Mamdani型广义二型模糊逻辑系统降型。不失一般性，考虑一个有n个输入x1∈X1,…,xn∈Xn和一个输出y∈Y的广义二型模糊逻辑系统。 该系统可由M条模糊规则描述，其中第s条规则的形式为：

(1)

(2)

对于每条模糊规则，其在特定的α水平下的激发区间为：

(3)

其中,p为前件数，T表示乘积t-范数或取小t-范数。

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

聚合所有的YC,α得出最终的一型降型集YC,即:

(10)

设α-平面的个数为m,即把α均匀分解成α1,α2,…,αm,则广义二型模糊逻辑系统输出为:

(11)

3 BEKM算法

(12)

(13)

其中，k和k′表示切换点。

相比于最初的KM算法，EKM算法改进了以下3个方面：

(1) 提出了更好的初始化方法；(2) 去掉一步不必要的迭代来改变迭代终止条件；(3) 设置巧妙的计算方法以减少算法每次迭代的计算消耗。

尽管如此，EKM算法仍然计算密集。BEKM算法又在以下2方面改进了EKM算法：

(1) BEKM算法设置初始化切换点为k=[N/2],这种设置会适合任意类型的二型模糊集。EKM算法设置初始化左右切换点分别为k=[N/2.4]和k′=[N/1.7],这导致当真正的切换点远离初始化切换点时，EKM算法的计算效率大幅降低。

(2) EKM算法在每次迭代中都从1开始向上至N-1搜索切换点k′,而BEKM算法在每次迭代中都缩减[N/2]的范围，因此，后者的计算效率更高。

(1)把主变量均匀离散成N个点，即yi(i=1,2,…,N)。

(2)初始化：设置kmax=N,kmin=1,且k=(kmax+kmin)/2。

(5)如果yk>y，则设置kmax=k-1且转入步骤(7)；否则，进入步骤(6)。

(6)如果yk+1≤y，则设置kmin=k+1且转入步骤(7)。

(8)设置y=y′,a=a′,b=b′，且返回步骤(4)。

(1) 把主变量均匀离散成N个点，即yi(i=1,2,…,N)。

(2)初始化：设置kmax=N,kmin=1,且k=(kmax+kmin)/2。

(5)如果yk>y，则设置kmax=k-1且转入步骤(7)；否则，进入步骤(6)。

(6)如果yk+1≤y，则设置kmin=k+1且转入步骤(7)。

(8) 设置y=y′,a=a′,b=b′且返回步骤(4)。

最后介绍如何用BEKM算法完成基于广义二型模糊集α-平面表达理论广义二型模糊逻辑系统质心降型，其具体的计算步骤如下所示：

(3) 根据仿真实验结果，比较和分析2种算法的表现。

4 仿真实验

图2和表1给出了所定义的2个示例的FOU。图3和表2又提供了所定义的相关次隶属函数。

Figure 2 Graphs of FOU图2 FOU图

Table 1 FOU membership function expressions for two examples表1 2个示例FOU隶属函数表达式

Figure 3 Shape graphs of secondary membership functions图3 次隶属函数形状图

Table 2 Secondary membership function expressions for two examples表2 2个示例的次隶属函数表达式

Figure 4 The right half centroid type-reduced sets computed by the EKM algorithm and BEKM algorithm图4 EKM算法和BEKM算法计算出的右半质心降型集

当取有效α-平面个数Δ=100时，用EKM算法和BEKM算法计算出2个示例的右半质心降型集如图4所示。

接着研究2种算法计算右半质心降型集的具体的计算时间，其计算结果是不可重复的。取仿真平台为E5300@2.60 GHz和2.00 GB内存的双核CPU的戴尔台式机，Microsoft Windows XP Professional操作系统。所有程序在Matlab 2013a中运行，2个示例的总计算时间如表3所示，其中第4行表示计算结果平均值，而第4列表示BEKM算法相对于EKM算法的计算时间减少率，这里把它定义为：

Table 3 Total time consuming of two algorithms for computing the right half centroid type-reduced sets表3 2种算法计算右半质心降型集总时间消耗

TRR=(tEKM-tBEKM)/tEKM×100%

(14)

其中,tEKM为EKM算法计算时间，tBEKM为BEKM算法计算时间，时间单位为s。

仔细观察图3和表3，当计算广义二型模糊逻辑系统右半质心降型集时，可以得到以下结论：

(1) 在以上2个最常见的示例中，EKM算法和BEKM算法计算右半质心降型集的结果几乎完全相同，如图3a和图3b所示，代表2种算法的曲线几乎完全重合；

(2) 相比于EKM算法，所提出的BEKM算法在2个示例中分别减少了约39.69%和39.44%的计算时间，此外，相对EKM算法，BEKM算法的平均计算时间减少率为39.06%。

以上的仿真实验分析表明，本文提出的BEKM算法是完成广义二型模糊逻辑系统质心降型的一种有效方法。尽管EKM算法和BEKM算法计算出的广义二型模糊逻辑系统右半质心降型集结果值几乎完全相同，但可明显看出，BEKM算法的计算时间优于EKM算法的。换句话说，所提出的BEKM算法可显著地改进完成广义二型模糊逻辑系统质心降型时的计算效率而不损失计算精度。

5 结束语

针对通过广义二型模糊逻辑系统模糊推理得出的具有不同足迹不确定性和相关次隶属函数的输出广义二型模糊集，本文提出BEKM算法来完成广义二型模糊逻辑系统质心降型。当计算右半质心降型集时，2个仿真示例表明了尽管2种算法的计算结果几乎完全相同，但BEKM算法的计算时间远少于EKM算法的，这可能会给广义二型模糊逻辑系统设计提供潜在的价值。

接下来将研究EKM算法的初始化，力争给出合理初始化EKM完成区间二型和广义二型模糊逻辑系统质心降型。此外，也将深入研究二型模糊逻辑系统的中心集降型[23]、各种离散降型算法和连续降型算法之间的关系[24]以及基于智能优化算法[3 - 5,11,12,16,17,25,26]的二型模糊逻辑系统的设计与应用等。