王 刚，任子文，周 奎

(中烟机械技术中心有限责任公司, 上海 201206)

凸轮机构是机械行业中最常用的典型机构，它可以使从动件按规定的运动规律完成动作，把回转运动转变成直线移动或摆动。然而，凸轮机构在实际运用中存在部分问题，如刚性冲击和柔性冲击。冲击不仅影响凸轮寿命，而且对主运动机构的力和功率等影响也很大。不同的运动规律所造成的冲击程度也不相同[1]。因此，对凸轮机构从动件的运动规律进行研究是十分必要的。

凸轮机构从动件的运动规律包括代数多项式运动规律和三角函数式运动规律以及改进型、组合型运动规律。

常用的代数多项式运动规律有一次多项式(等速运动规律)、二次多项式(等加速运动规律)以及高阶多项式运动规律。一次多项式运动规律存在刚性冲击，只能用于低速轻载的场合；二次多项式运动规律存在柔性冲击，只能用于中速轻载的场合；五次、七次以及更高阶的多项式运动规律既没有刚性冲击也没有柔性冲击，可用于高速场合。由于加工工艺复杂，因此高于七次的多项式运动规律很少使用。

三角函数式运动规律有正弦加速度运动规律和余弦加速度运动规律等[2]。正弦加速度运动规律没有刚性冲击和柔性冲击，可用于高速场合；余弦加速度运动规律存在柔性冲击，只能用于中速轻载场合[3]。

虽然正弦加速度运动规律可以用于高速场合，但在有多个特殊运动要求的情况下，正弦加速度运动规律就不太容易求解了[4]，需要采用加控制条件的多项式运动规律。为得到符合设计要求且性能更好的运动规律，本文通过对位移、速度以及加速度的分析，在运动过程中分段加入合适的边界条件以及其他约束条件，对多项式运动规律曲线进行分段优化设计，从而得到更精确、小冲击、无过大功率变化的改进型多项式运动规律。

1 多项式运动规律的数学方程计算

如图1所示，推杆位移S和凸轮转角θ存在一定的运动关系，该关系如引言所述可以有多种运动规律。

本文论述的是多项式运动规律，其基本形式为：

S=C0+C1θ+C2θ2+C3θ3+…+Cmθm

(1)

式中:C0，C1，C2，C3,…,Cm为使S和S的某些导数满足运动过程规定的边界条件的待定常数。式(1)中各次幂的相继项目数应与决定凸轮运动所需的条件数相等[5]。

对式(1)进行一次求导可得到速度方程，二次求导得到加速度方程，三次求导得到跃度方程，直到更高的阶次。在对通用机械的凸轮运动规律进行设计时，通常只需要保证速度及加速度连续即可，即设定起点和终点的约束条件为：当θ=0时,S=0,V=0,A=0；当θ=δ时,S=h,V=0,A=0。其中δ为凸轮转角，h为推杆位移，V为推杆速度，A为推杆加速度。由上述6个边界条件，可得该多项式方程为：

S=C0+C1θ+C2θ2+C3θ3+C4θ4+C5θ5

(2)

将方程(2)对θ求导，得

V=C1+2C2θ+3C3θ2+4C4θ3+5C5θ4

(3)

将方程(3)对θ求导，得

A=2C2+6C3θ+12C4θ2+20C5θ3

(4)

将C0,C1,C2,C3,C4,C5的值代入式(2)、(3)、(4)，可得到位移、速度和加速度的运动方程为：

(5)

(6)

(7)

通过方程(5)、(6)、(7)可以看出，速度和加速度都是连续的。根据式(5)可以写出多项式运动规律的位移方程通式[6]：

(8)

式中：n为起点的约束条件个数。利用终点的约束条件，即θ=δ时，S=h，V=0,A=0,…,可得用于计算各系数C的线性方程组:

(9)

运用代数运算，求得线性方程组(9)的解为：

(10)

式(10)是在给定起点和终点约束条件的情况下，对高次多项式运动规律的位移、速度、加速度等进行联合求解而得到的各系数计算公式。当运动规律要求有特定的起点和终点约束条件时，只需要在式(10)中代入指定的值，便可得到相应的系数值。

2 附加约束条件的多项式运动规律设计

除了规定在边界处有一个或几个位移导数等于零的条件外，还可以给出起点或终点处一个或几个位移导数的具体数值，这种具有更多约束条件的运动规律能够严格控制凸轮机构的运动学性能[5]。现根据具体情况进行设计论述。

设定升—停—回型凸轮，运动循环图如图2所示，图中δ1为凸轮升程转角，δ2为停程转角，δ3为回程转角。回程时，凸轮旋转δ31，推杆位移为h1；凸轮继续旋转δ32，推杆位移为h2；凸轮最后旋转δ33，推杆位移为h3。其中h1+h2+h3=h，δ31+δ32+δ33=δ3。

图2 运动循环图

升程段没有特殊的运动要求，根据多项式运动方程(8)正常求解即可。回程段时要求先进行一段加速运动，然后进行一段匀速运动，最后再进行一段减速运动，对于这样的运动特性，目前通常采用圆弧拼接的改进型等速运动规律[6]。该运动规律的缺点是加速度不连续，会造成柔性冲击。

2.1 对升程段进行求解

由于升程δ1段没有特殊要求，那么在没有刚、柔性冲击的条件下，可定义其边界条件为：θ=0,S=0,V=0,A=0；θ=δ1,S=h,V=0,A=0。

将n=3代入式(10)，可求得各系数的值，将各系数值代入式(8),从而得到升程段的多项式运动规律位移方程：

(11)

2.2 对回程段进行分段求解

凸轮回程δ3段由于存在多个设计条件，采用单一的多项式运动规律显然不能满足其运动要求，因此对其进行分段求解[7]。假设推杆位移为h1时，推杆速度为v1;位移为h2时，推杆速度为v2；位移为h3时，推杆速度为v3。

对h1位移段运动方程进行求解，为了保证接合处加速度曲线连续，在θ=δ31处的加速度应等于h2位移段的加速度，即A=0。为了便于计算，将升程和凸轮转角无量纲化，即令最大升程和最大凸轮转角都为1[8]，同时对速度也进行无量纲化表示，由于此时速度不为0，设定速度等于1，其边界条件为：θ=0,S=0,V=0,A=0;θ=1,S=1,V=1,A=0。

将这6个边界条件的具体值代入到式(2)、(3)、(4)，联立求解得：C0=C1=C2=0;C3=6;C4=-8;C5=3。

由此得出位移、速度及加速度的多项式无量纲运动方程如下：

(12)

(13)

对h3位移段运动方程进行求解，为了保证接合处速度曲线连续，此段起始速度与h2位移段的速度相等，为了保证接合处加速度曲线连续，此段起始处的加速度应等于h2位移段的加速度。于是其边界条件为：θ=0,S=0,V=1,A=0;θ=1,S=1,V=0,A=0。

运用h1位移段计算方法，可求得h3位移段的多项式方程为：

(14)

至此就求得了回程的三段多项式运动规律方程。

3 仿真分析及应用效果

在设计完多项式运动规律后，对其进行仿真分析，以确保该运动规律符合凸轮设计的基本要求以及附加的特殊需求。对各已知项进行赋值，通过第2节计算方法得出多项式运动规律方程，然后将运动规律方程导入仿真软件，并与圆弧拼接的改进型等速运动规律进行对比。

图3中曲线1为多项式运动规律生成的滚子中心轨迹线，曲线2为用圆弧拼接的改进型等速运动规律生成的滚子中心轨迹线。

图3 圆柱凸轮展开图

两种运动规律的位移、速度以及加速度的运动曲线如图4，5，6所示。

图4 位移曲线图

图5 速度曲线图

图6 加速度曲线图

由图可以看出，本文求解的多项式运动规律，其速度和加速度曲线在整个行程中均无突变，说明该多项式运动规律既无刚性冲击，也没有柔性冲击，同时也能严格满足回程的分段控制要求。而用圆弧拼接的改进型等速运动规律，虽然速度连续，但加速度有突变，会造成柔性冲击，而且其回程段的各参数只能趋近于要求值，做不到严格一致。因此本文多项式运动规律的设计方法是安全有效的。

4 结束语

本文在确保凸轮机构速度及加速度曲线连续的情况下，通过对边界条件赋值，求解出了多项式运动规律的位移方程通式，并根据通式推导出了各系数的计算公式。然后通过实例验证了各系数计算公式的便捷性与可靠性，并介绍了五次多项式运动规律的应用方法。同时提出了一种针对具有附加约束条件的多项式运动规律的设计方法，该方法可以针对不同的设计需求，对凸轮行程进行分段设计，在确保凸轮机构没有刚、柔性冲击的前提下，满足从动件的特殊动作需求。最后，通过对设计的多项式运动规律进行仿真分析，并与用圆弧拼接的改进型等速运动规律进行对比，验证了该设计方法是安全有效的。