李秀元

(湖北省武穴市实验高级中学 435400)

数学是一门寻求“完美”模式的学问.数学解题一般都是有模式的.研究解题模式，熟练运用模式解题，对提高数学学习成绩的现实意义是积极的.而且，研究解题模式，对于理解不同题目的关系，快速解题也是非常有好处的.下面基于不等式问题，举例说明统一求解模式在不同题目中的应用，借此彰显统一解题模式的积极意义.

一、统一模式，加深对问题的理解

(2)已知-1

分析对于问题(1)，由于a，b单独变化，互不影响，可直接利用不等式的性质求解.求解问题(2)时，学生往往受问题(1)的影响，总是先求a，b的取值范围，再求2a+3b的范围.事实上，a和b在变化过程中是相互制约的，因此不能单独确定a和b各自的取值范围.如果对a+b和a-b分别换元后，则问题(2)可以回归到问题(1)的模式.

评析问题(2)是学生最易出错的一道题，人教A版课标实验教科书必修5，用一个“阅读与思考”来解释，为什么正确应用不等式性质的求解，结果却是多样的、错误的.应用模式化方法，使新问题回归到已有模型，复杂问题简单化，求解不会出现偏差，也根本不需要任何解释.转化为问题(1)的模型，本质上是用a+b和a-b这两个整体变量来表示2a+3b，不破坏单独变量a和b之间的依赖性，然后借助不等式的性质，确定其取值范围.

二、统一模式，提高解题速度

例2(1)已知f(x)=(ax-1)(x+b)，如果f(x)>0的解集为(-1，3)，求f(-2x+3)<0的解集；

(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-12ax的解集.

分析对于问题(1)，一般先根据函数结构，和不等式解的形式，确定函数类型，求出参数a和b的值，进而解一个基于f(x)的更复杂不等式.但这样求解无视结构特点，毫无灵性，无法提高解题的速度和准确度.

所以不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax的解集为(0，3).

方法2：不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax可化为a(x-1)2+b(x-1)+c>0，由题意知-1

因此，不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax的解集为(0，3).

评析这两个不等式的求解，并不是多么困难，甚至可以说是简单的，基于一般化思想未尝不可，但如果关注到不等式的结构特点，则为快速而准确解题，提供了必要条件，这也许就是模式化的极大好处.

三、统一模式，降低解题难度

分析一这是等式条件下利用均值不等式求最值的典型试题.问题(1)条件形式复杂，目标结构更简单，从复杂到简单容易操作，既可以利用消元法，又可以利用“1”的代换.问题(2)则是条件简单，目标复杂，从简单到复杂构造难.在解题技巧上可以利用“1”的代换，如果用消元法，则目标式会越来越复杂，除了借助特殊不等式，似乎没有更好的办法.若能把问题(2)转化为问题(1)的形式，则两者的求解就统一了.

解(1)方法1：消元法.

方法2:“1”的代换.

(2)方法1：“1”的代换.

方法2：消元后利用特殊不等式.

为了说明问题，我们先证明下面的不等式：

证明因为a，b，x，y为正数，

再看问题的解.

方法3：换元法.

评析特殊不等式的证明思路，正是源于问题(1)的求解方法2.问题(2)的方法1用技巧取胜，不太符合新高考命题理念，方法2以特殊不等式为背景，看似简单，实际上增加了识记要求，如能抓住问题的本质，即“1”的代换，不用特殊不等式也是可行的.此时所谓“1”的代换，已经不仅仅限于和为1，只要和为正常数，都是可以的.对条件和目标的结构进行变换，则问题(2)回归到问题(1)的形式，难度自然降低.

分析二换个角度看问题(1).一般地，应用均值不等式求最值，结构上往往具有“给和求积”，“给积求和”的特点.如果能将 “分式和结构”的等式条件，变换成“整式积”的形式，那么，试题也就能回归到更一般的解题模式上了.

评析相对于分析一的特殊解法，对于“给分式和求整式和”问题，将分式型等式条件化为整式等式条件，只需要进行一次因式分解，凑一凑就行了，因式的构成完全依赖于目标的线性结构，无论系数与等式是否一致，都是可以的.这样解题难度似乎又降低了不少.

不同知识点的试题，往往具有各自独立而特别的解题模式，如数列问题的构造模式，三角函数问题中的变角模式，解析几何问题的运算模式，等等.研究模式，洞悉模式，进而利用模式，为快速解题创造得分条件，正是试题研究的方向之一，值得拥有.