陈 强，龚玉婷

(1.上海财经大学经济学院，上海 200433；2.上海财经大学数理经济学重点实验室,上海 200433；3.上海大学悉尼工商学院，上海 201800)

1 引言

资产价格 (或收益) 的波动是金融分析中的一个重要变量，其在风险对冲、资产定价以及最优投资组合构建等领域都有着广泛的应用。现代金融研究中大量使用到了连续时间 (跳跃) 扩散过程，其中波动项是 (跳跃) 扩散过程中连续成分的重要元素之一。由于对扩散过程的错误设定 (特别是其波动过程的错误设定) 会造成严重的模型风险。如何准确的设定与估计数据生成过程的波动特征一直是学术界与实务界所关心的重要问题。

学术界自从Ait-Shalia[1]基于非参数方法提出关于纯扩散模型的设定检验方法以来，已有大量关于连续时间模型的设定检验的研究。这些设定检验主要可以分为两类：1、关于漂移函数与波动函数的单独检验；2、关于漂移函数和波动函数的联合设定检验方法 (见Chen、Zheng与Pan[2]的简单综述)。本文主要关注对波动函数的单独设定检验。现有的研究已有一些专门针对扩散模型波动函数的设定检验方法，如 Corradi和White[3]、Dette等[4]、Li[5]、Dette和Podolskij[6]、Chen等[2]等。分析这些文献发现，这些波动函数设定检验方法都是针对纯扩散模型进行分析，其大样本性质大都依赖于数据观察步长趋于0这一条件。因此，这些波动函数的设定检验方法都没有考虑进跳跃的影响。根据本人所掌握的文献，还未见有不依赖于跳跃的波动函数检验方法。然而，金融资产价格的不连续变化或跳的存在，已是学术界普遍认可的事实。特别对于高频数据而言，跳跃现象就更加明显。Chen等[2]的模拟研究已表明，跳跃的存在会使得波动函数的检验存在过度拒绝 (overre jections)，本文蒙特卡罗模拟的分析也清楚的看出这一现象。由于现有的波动函数检验方法对存在跳跃的扩散模型是不稳健的。这在很大程度上限制了这些波动函数设定检验方法的应用范围。

因此，有必要提供一种对跳跃稳健的波动性检验方法。之所以对跳跃扩散模型各个成分单独检验的研究如此重要，其原因除了陈强等[7]提到的模型错误设定的原因识别之外，还缘于金融实践中需求。针对给定离散的观测数据，区分数据过程中扩散成分 (diffusion part) 与跳跃成分 (jump part) 的贡献，对于定价、对冲与金融计量应用都是很重要的 (见Barndorff-Nielsen和Shephard[8])。正如Aït-Sahalia[9]所述，相对于连续的价格变化 (通常被描述为纯扩散模型)，跳的存在对于衍生品定价，风险管理和资产配置都有着不同的含义。跳跃稳健的波动函数设定检验方法可以用于区分波动过程的连续成分和不连续成分 (即跳跃)，从而为金融定量分析提供更丰富的分析工具。

对函数形式的检验必须有相对应的参数估计方法。本文首先对Shimizu和Yoshida[10]的对跳跃稳健的联合估计做一定的修改，得到相应的对跳跃稳健的波动函数的估计方法。然后，基于近邻截断 (nearest neighbor truncation) 方法，采用残差的部分和 (partial sum)过程构造出一类对漂移项和跳跃项都渐近稳健的波动函数设定检验方法，希望得到更适合高频数据环境分析的扩散过程波动函数的设定检验方法。近邻截断方法在连续时间扩散模型中的应用，最先要属Andersen等[11-12]所提出的对跳跃稳健的积分方差 (integrated variance) 与积分四次变差 (integrated quarticity) 的估计。他们的近邻截断估计方法都不涉及具体的函数形式。与他们不同，本文将利用近邻截断方法考察波动函数形式的设定检验。采用近邻截断方法的优势在于，使所提出的检验统计量对跳跃具有一定稳健性，并且近邻截断不像其他门限截断方法涉及门限值的选择。

2 模型设定与参数估计

假设数据生成过程X≜{Xt:0≤t

dXt=μ(Xt)dt+σ(Xt)dBt+dJt

(1)

(2)

其中，εi≜εti～i.i.d.N(0,1)，且当s≤ti时，εi与Xs相互独立。

本文所要考察的原假设检验问题为：对于时间区间[0,T]内 (跳跃) 扩散过程的波动函数是否来自某个参数族下的一组函数，即存在某未知的参数θ，使得

H0:σ(·)∈{σ(·,θ):θ∈Θ⊂Rd}

其备择假设H1为：H0不正确。

所考察的原假设问题在现有文献里并不陌生，属于一类复合假设 (composite hypothesis) 检验问题。所不同的是，本文需要从漂移项、波动项、跳跃项中单独识别出波动函数的信息。如前言所述，从纯扩散模型中单独识别出波动函数信息已有一些计量方法。这些波动函数的设定检验方法，其基本的依据都是利用如下关于纯扩散过程的二阶条件矩性质，即当Δ→0时：

(3)

+λ(x)EY(Y2)+Op(Δ)

(4)

从式 (4) 可以看出，即使在Δ→0条件下，只要数据过程存在跳跃，λ(x)EY(Y2)就不为0。此时，即使波动函数σ(x,θ)是正确设定的，也不能保证其满足式(3)的条件矩。可见，以往基于纯扩散模型框架所推导出的波动函数检验统计量不适用于跳跃扩散模型波动函数的设定检验。据本人所掌握的文献，目前尚未见有从跳跃扩散模型的三个成分中单独识别出波动函数信息的方法。为此，本文将在第3节提出一类对跳跃项和漂移项渐近稳健的波动函数设定检验方法。

为了计算跳跃稳健的波动函数检验统计量的值，必须首先有相应的方法估计波动函数参数大小。目前比较流行的波动函数估计方法是最小化差异估计 (minimum contrast estimation)。其基本的思想来源于极大似然估计。如Corradi和White[3]、Li[5]、Chen等[2]都采用这一方法来估计波动函数的参数。不过这些文献所采用的波动函数估计对跳跃的影响都不是稳健的。最近，Shimizu和Yoshida[10]提出了一种存在跳跃时的扩散模型漂移函数和波动函数的联合估计方法，其要求T→∞这一条件。实际上，当T给定时，对Shimizu和Yoshida[10]的联合估计方法作适当调整，便可以得到对跳跃稳健的波动函数估计方法。具体而言，我们采用如下形式的波动函数最小化差异估计：

(5)

3 检验统计量的构造与实施

3.1 部分和过程不存在参数估计情形

近邻截断方法对跳跃稳健的基本依据是：对于有限活跃的跳跃过程，我们渐近的基本不可能在相邻时点上同时遇上跳跃。基于此，Andersen等[11]提出了两个积分方差的近邻截断估计量，即基于最小值截断的估计量MinRVN和基于中位数截断的估计量MedRVN：

(6)

(7)

其中MinRVN是单边截断，即取两个相邻收益绝对值的较小值；MedRVN是双边截断，即取三个相邻收益绝对值的中间值。Andersen等[11]进一步给出了这两个估计量的渐近收敛性：

以上两式左边除以Δ相当于对其单位时间化，这样处理的好处是使得其期望值与T无关。自然的，可以基于上式构造零均值的残差。类似于陈强等[7]、Chen等[2]的做法，为了得到标准化的部分和过程，可以构造如下标准化残差：

同理，基于MedRVN可以构造对应的标准化残差。

一般情况，基于波动函数σ2(Xi-1,θ)可以类似构造如下标准化残差：

(8)

(9)

(10)

(11)

3.2 部分和过程存在参数估计情形

(12)

(13)

(14)

证明：见附录。

(15)

4 蒙特卡洛模拟分析

4.1 模拟设置

本节将通过蒙特卡罗模拟来分析所提出的检验统计量的有限样本性质。为了分析检验统计量的检验水平表现，数据生成过程 (DGP) 考虑的原假设模型分别为Vasicek[20](记为：Vasicek)模型，Cox等[21](记为：CIR)模型。其中，

Vasicek 模型为

dXt=κ(α-Xt)dt+βdBt

(16)

CIR 模型为

(17)

Vasicek 模型的参数设置为(α,κ,β2)=(0.089102,0.85837,0.002185)；此时的原假设问题为：H0:σ2(x)=常数。CIR 模型的参数设置为(α,κ,β2)=(0.090495,0.89218,0.032742)；此时的原假设问题为：H0:σ2(x)=β2x。以上参数的设置均参照Li[5]的设置。

为了分析检验统计量的检验功效 (power) 表现，本文考虑两种情形的原假设。第一种情形的原假设假定DGP为一个包含常数波动的 (跳跃) 扩散过程。而真实的数据过程分别为Chan等[22]的(记为：CKLS)模型和Ahn和Gao[23]的Inverse-Feller模型。第二种情形的原假设假定DGP为一个包含CIR类型波动 (即β2x) 的 (跳跃) 扩散过程。而真实的数据过程分别为CKLS 模型和Inverse-Feller模型。其中，

CKLS 模型为

(18)

Inverse-Feller模型为

(19)

CKLS 模型的参数设置为(α,κ,β2,ρ)=(0.0972,0.0808,0.52186,1.46)，其参数设置参照Li[5]的设置。Inverse-Feller模型的参数设置为(α,κ,β2)=(0.0823,3.6438,1.6387)，其参数设置参照Ahn和Gao[23]的估计结果。

4.2 模拟结果分析

表1 非稳健的检验统计量与的检验水平

表2 稳健检验统计量与的检验水平

5 实证应用

本节将所提出的检验统计量应用于我国短期利率数据的实证，并简要分析我国短期利率的跳跃与波动特征。所选取的数据为流动性相对较好的7天期 (1W) 上海银行间同业拆放利率(Shanghai Interbank Offered Rate，简称Shibor)的日度数据。用于实证检验的数据时间跨度为2006年11月1日至2017年12月29日(原始数据始于2006年10月8日)，其描述统计分析见表4。本节首先采用跳跃检验方法分析Shibor数据是否存在跳跃以及跳跃现象；然后分别对每一年的Shibor数据进行波动函数特征的检验。

5.1 跳跃检验分析

表3 稳健检验统计量与的检验功效

本文采用Lee、Mykland[25]所提出的跳跃检验方法来分析短期利率的跳跃行为。将所有Shibor数据按年为单位，对年内逐日向前移动估计Lee、Mykland检验统计量的值。表4最后三列统计了在三个显著性水平下各年被检验出跳跃次数。从表4可以看出，所考察样本期的Shibor数据存在着明显的跳跃风险，且在不同的时间段呈现一定的时变特征与集聚现象。实际的一些研究也认为中国都短期利率加入跳跃项后能更好的刻画其特征 (如洪永淼和林海[26],谈正达和胡海鸥[27])。因此，对我国短期利率特征的描述应该对其跳跃特征加以考虑。

5.2 波动函数检验分析

表4 期限为1W的Shibor数据统计描述与跳跃检验

表5 期限为1W的Shibor数据的波动函数检验结果

6 结语

以往的波动函数设定检验方法都是基于纯扩散模型框架提出的，其对跳跃的影响是非稳健的。为了得到适用于跳跃扩散过程的波动函数设定检验方法，本文首先探讨了跳稳健的波动函数的参数估计方法；然后利用近邻截断方法，基于部分和过程构造了针对跳跃扩散过程的波动函数设定检验方法，并分析了检验统计量的近似极限性质。所提出的检验方法渐近的不受漂移项与跳跃项的影响。为了对一般性的波动函数实施准确的设定检验，本文还提出了一套波动函数的自助法检验步骤。通过蒙特卡洛模拟发现，所提出的检验统计量能够较好的避免或减轻跳跃对检验结果的影响，检验统计量能得到较好的检验水平表现和检验功效表现。最后，将本文所提出的检验统计量应用于7天期的Shibor利率数据的波动函数实证检验，发现检验结果比非跳跃稳健的检验统计量具有更好的区分度。

附录：

定理证明

(A1)

(A2)

其中，

由于当Δ→0时，有(⎣tNT/T?-1)/NT→t/T。依据针对遍历扩散过程的Glivenko-Cantelli定理 (见 Kutoyants[28]),得

(A3)

(A4)

综上(A2)、(A3)与(A4)可得

(A5)

(A6)

(A7)

证毕。