APP下载

直观想象素养下的立体几何教学实践研究

2020-08-14蔡少霞

中学课程辅导·教育科研 2020年22期
关键词:直观想象立体几何教学设计

【摘要】直观想象素养是2017版《普通高中数学课程标准》中提出的六大核心素养之一,是当前数学教育教学研究的热点。本文以人教版教材中《直线与平面垂直的判定(一)》的教学设计为载体,在直观想象素养的培养与教学实践之间架设桥梁,探究在教学实践中深入挖掘学生在探究知识发生发展过程以及学生认知数学知识的心理特点和思维规律,从而实现学生直观想象素养的落地生根。

【关键词】直观想象   立体几何   教学设计

新课标指出:直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养。它含有两个关键词:“几何直观”和“空间想象”。“几何直观”是指利用图形对问题进行描述与分析;“空间想象”是指通过直接感知周围环境,学习得到二维平面和三维空间图形及其性质的理解。

一、基于直观想象素养下的立体几何教学实践探究

学生直观想象素养的形成,主要是依托几何图形,进行数学化的思考和想象,从而解决数學问题。课堂是落实学生直观想象素养的主阵地,而教学设计是落实核心素养的载体。下面以《直线与平面垂直的判定(一)》教学设计为例,谈谈“直观想象素养下的立体几何教学实践研究”。

(一)复习旧知,启迪新知

问题1.1:怎样判定平面与平面平行?

问题1.2:直线和平面有几种位置关系?

设计意图:

问题1.1的设计,为新课中“无限”转化为“有限”的证明,引导学生能类比联想到“线不在多,两条相交就行”。此问不单能温故且能启迪新知。

问题1.2的设计主要是承上启下引出新课题。

建构主义认为:在新旧知识的联系点上复习旧知识并引导学生进行思考、联想、分析,逐步进入新知识的学习,使学生感受到新知识就是旧知识的引申和拓展。在这里,教师有意引导学生去借助头脑中已有的数学图形和解决问题的方法,也让学生能发挥几何想象形成新的知识。

(二)创设情境,直观感知

问题2.1:我们一般如何判断某位同学上课是否“坐得直”?

问题2.2:请同学们观察学校升旗台的旗杆与地面、港珠澳大桥的桥柱与水面是哪种位置关系?你能举出一些类似的例子吗?

心理学研究表明:第一印象的作用最强。那么,教师要结合本节课内容和本班学情来设计问题,以最快的速度吸引学生的注意力到课堂学习。如问题2.1:这种从学生自身找情境素材,“感同身受”会更感亲切,情感投入也会更强烈,同时也是借机进行学习习惯与学习态度的德育渗透。为了提供更加丰富的线面垂直的情境,创设了2.2问题,积累各种直观感知线面垂直的素材。这也是直观想象素养形成的过程的最基础模型:现实生活模型,为线面垂直的学习勾勒出基本的数学表象。

(三)观察归纳,形成概念

线面垂直的定义(定义和图形略)学习具有一定的抽象性,从现实生活模型到将线面垂直的数学表象进行数学化的表达,是教学的难点;教师需要引导学生观察:左手把笔垂直放于桌面上而右手在桌面随意移动另一只笔,观察感知两笔位置关系。通过师生互动、反馈纠正提炼线面垂直的定义,培养学生准确使用数学语言、从几何直观到抽象的数学化的良好学习习惯与表达能力。

(四)概念辨析与小结

判断下列问题的对错。若错的话,你能通过反例来操作确认吗?

1.一条直线与平面内的无数多条直线垂直,则这条直线与平面垂直。(     )

2.如果一条直线垂直一个平面,那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。(     )

通过概念辨析,引导学生从课本的字里行间挖掘概念定义的内涵和外延,从中体会数学语言的精准,感悟转化的数学思想,培养学生思维的严密性。本节课设置了2个问题,辨析“任意一条”与“无限多条”直线的区别,更突出定义中的“任意一条”这个核心词语的重要性,比起老师告诉学生它的重要性,还不如让学生数学直观想象下“碰壁”,印象更深刻。

小结:1.由线线垂直→线面垂直;

2.由线面垂直→线线垂直(证明线线垂直的重要方法)。

如a⊥α    b?α

适时的引导学生小结,有助于学生掌握概念的本质属性。使学生清晰明确,线线垂直与线面垂直可以相互转化。

(五)探究活动:直观感知→合理猜想→操作确认→合情推理归纳判定定理

若用定义判定线面垂直的话,需在平面的任意一条(无限条)判断与直线垂直,显然这过于繁琐且难操作。简洁是数学之美,引导学生思考是否有易于操作的方法来判定线面垂直?

1.直观感知、合理猜想

问题4.1:打开的书直立于桌面,观察书脊与桌面位置关系,书脊与书跟桌面的两条交线又都是什么位置关系,你是否对判定线面垂直有些合理的猜想呢?

问题4.2:由平面与平面平行的判定方法,类比线面垂直判定,有何猜想呢?

设计意图:在定义中的无限条的垂直的操作困难,引导学生思考可否转化为有限条垂直即可。设置问题引导学生观察事物进行直观感知后作出合理猜想或者利用已有知识结构和的方法进行类比,然后再去操作确认或证明,培养学生转化能力和体会合情推理在解决数学问题中的作用。这也是由数学表象进阶到数学想象的过程。想象后的顿悟,是创新能力的源泉。

2.操作确认

课本P65(题略)探究:随着折痕AD的变动,观察几何结构的稳定性

问题5.1:折痕AD与桌面垂直吗?

问题5.2:如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?

引导学生观察实物进行直观感知→合理猜想→动手操作确认→应用合情推理归纳出直线与平面垂直的判定方法。通过折三角形的探究性问题的设计,观察D点在BC边移动的过程当中,AD与BC出现两种位置关系:垂直与不垂直关系。引导学生得出初步结论:当AD与BD、DC都垂直时,AD垂直于平面。从而确认直线与平面的判定的方法。这种使数学问题置于现实背境下,通过学生直觉感知、猜想、动手操作确认,使学生经历完整的探究过程获得直线与平面的判定方法,提高了学生动手操作能力和几何直观想象力,从而使直观想象素养的培养真正地在教学课堂中落地。

3.合情推理,引导归纳判定定理

问题6:通过上面的探究,同学们能归纳直线与平面垂直的判定方法吗?学生完成,即使语言不太规范也要有“静待花开”的耐心,教师及时纠正即可。

文字语言描述:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

通过直观感知、操作确认,引导学生归纳直线与平面垂直的判定方法,培养学生用规范的数学语言表达数学问题,这在立体几何的教学中尤为重要。

(六)直线与平面垂直的判定定理的辨析与简单应用

例1:判断对错,若错的话找到反例图形确认。

(1)两条平行直线中,若其中一条直线与平面垂直,则另一条也与平面垂直。(       )

(2)若直线垂直于一个平面α的两条直线,则这条直线垂直于平面α。(       )

例2  如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

求证 平面BC1⊥A1B1CD

变式(备用):在例2的正方体中,若在A1D中有一个动点E.

证明  BC1⊥B1E

设计中的例1(1)继续让学生遵循“直观感知——操作确认”判断其正确性;(2)帮助学生理解透判定线面垂直的关键核心词“相交直线”,培养学生分类解决问题的思辨能力。

例2 借助经典几何体“正方体”设计题型,使学生初步感受自己刚才探究结论的应用,找到“学有所用”的乐趣。变式题(备用)是在例2基础上进行拓展,培养学生由线线垂直→线面垂直→线线垂直的推理与转化的能力。由于B1E是动直线,给学生造成一定的心理压力,同时也激发学生进一步探究的动力。根据学生的认知特点与水平,对例题适当的挖掘,可以提升学生的直观想象素养。

(七)学习目标达成检测

选用的是课本P67练习1:已知:在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC.求证:VB⊥AC;

加深学生对线面垂直以及定义的理解,培养学生由线线垂直→线面垂直→线线垂直的推理与转化的能力。同时检查学生答题的规范。但需要做辅助线,估计部分学困生有一定的困难,教师适当的引导:在等腰三角形条件下要产生线线垂直,能进行哪些合理猜想?引导学生对图形直观与经验直观相结合所产生的想象。

(八)课堂小结(略)

二、基于直观想象素养下的立体几何初步的教学实践的思考

1.构建以问题为导向,实现直观想象素养在课堂教学实践中落地生根。

构建以问题为导向,以层层递进的方式,引导学生主动探索数学知识发生、发展的过程。让学生在探索过程经历直观想象的几个阶段:以现实生活模型提出问题,这是直观现象的起点→观察现实生活模型形成数学表象,是直观想象的原型直观阶段→由基于原型直观形成的数学表象,借助数学直感,展开数学想象,这是表象直观阶段→归纳总结形成新的数学表象。在整个探究过程中,能让学生置身于思考问题与解决问题、几何直观与空间想象交替的动态过程中,真正实现了在教学实践中培养学生直观想象素养。

2.培养学生三种数学语言的转化能力,提升学生直观想象素养。

在立体几何的教学中,符号语言、文字语言、图形语言三种语言转换能力在逻辑推理证明中的重要性是不言而喻的。教师积极引导学生阅读教材上经过千锤百炼的最规范、最简洁、最高度概括的[数学语言[④] ,既可以锻炼学生的数学语感,对使用准确的数学语言规范答题很有帮助,同时在阅读教材中让几何直观与空间想象在学生头脑中交替出现,共生并存,提升学生直观想象素养。

3.引导学生实现“有逻辑的思考”,培养学生直观想象素养

在立体几何的教学中,要符合学生的认知水平,引导学生通过观察进行合理猜想、类比、联想来促进学生的思维活动、发现问题,并利用转化、平面化等数学思想思考问题、解决问题。引导学生实现“有逻辑的思考”,培养学生直观想象素养。

克莱因说过:“数学不是依靠在逻辑上,而是依靠在正确的直观上,数学的直观就是对概念、證明的直接把握”。可见直观对学习数学的重要性。在立体几何的教学实践中,善于利用学生身边的情境和几何图形,引导学生学会观察、分析,加强借助直观想象进行归纳并概括同类实物的特征与共性,在学生亲身经历整个直观到抽象的思维过程中,让学生的直观想象素养在教学实践中能得到不断的提升。

【参考文献】

[1]《普通高中数学课程标准》人民教育出版社2017版、P6.

[2]吴宝立《现代基础教育研究》2018年第31卷的“观想象素养的内涵与结构探究”.

[3]章建跃《数学通报》2017年第12期“核心素养统领下的立体几何教材变革”、P1-P3.

[4]蔡少霞《师道》2019年第340期“探究普通学校高中生数学语言能力转化的培养策略 ”、P152.

[5]姚永祥《中学数学参考—理科版》2017年第08期“基于提升直观想象素养的数学教学实践与思考”.

猜你喜欢

直观想象立体几何教学设计
让直观想象根植在数学课堂教学中
充分发挥“直观想象”让解题更具韵味
浅析“向量法”在高中数学立体几何中的应用
探究式教学法在立体几何教学中的应用分析
高中数学一元二次含参不等式的解法探讨
“仿真物理实验室” 在微课制作中的应用
翻转课堂在高职公共英语教学中的应用现状分析及改善建议
提高课堂教学有效性的研究
论小学生直观想象力的培养