徐 玲，罗润梓，曹廷彬

（1.南昌大学数学系，江西 南昌 330031；2.江西科技师范大学数学与计算机科学学院，江西 南昌 330013）

1 引言及主要结果

复域差分方程理论的研究起始于十二世纪初。近十年多年来，随着差分值分布理论的建立和发展，差分Riccati方程引起学者的关注（如见文献［1-6］）。在2019年，Chen与Shon［7］证明了下面两个定理，推广和改进了［4］中相关结果。

定理A［7］设A、B、C、D为亚纯函数且满足AC≠0，AD-BC≠0。如果差分Riccati方程f（z存在至少三个互异的亚纯函数解其为亚纯函数f0（z）、f1（z）、f2（z），则方程所有解构成解簇

这里Q（z）为任意的复数或周期为1的亚纯函数，且当Q（z）≡0，则f（z）=f1（z）；当Q（z）≡-1，则f（z）=f2（z）。

定理B［7］设A、B、C、D为多项式且满足AC≠0，AD-BC≠0， 以 及 degC＞

本文目的是采用文［1］中相同方法，将上面结果推广到更一般的差分Raccati方程，得到下面的结果。

定理1 设q，c是两个非零的复数，设A、B、C、D为亚纯函数且满足AC≠0，AD-BC≠0。如果差分Riccati方程存在至少3个互异的亚纯函数解其为亚纯函数f0（z），f1（z），f2（z），则方程所有解构成解簇

这里Q（z）为任意满足Q（z）≡Q（qz+c）的亚纯函数。

定理2 设q、c是2个非零的复数，设A、B、C、D为多项式且满足AC≠0，AD-BC≠0，以及如果差分Riccati方程有一个有理函数解f0（z）满足则方程至多有两个互异的有理函数解。

2 引理

为了证明定理，我们先来证明2个引理，皆为［7］中引理的推广。

引理2.1 假设q、c、A、B、C、D如定理1中给定的。若f（z）是差分Riccati方程f（qz+c）=一个亚纯函数解，则C（z）f（z）+D（z）和C（z）f（qz+c）-A（z）都不恒为零。

证明 如果C（z）f（z）+D（z）≡0，那么这样显然D（z）不恒为零，否则f（z）就恒为零，代入差分Riccati方程得到B（z）≡0，从而有AD-BC≡0，这与条件矛盾。将f（z）≡代入差分Riccati方程，得到：

因而有C（qz+c）≡0，这与已知假设条件矛盾。

如果C（z）f（qz+c）-A（z）≡0，那么f（qz+将之代入差分Riccati方程，得到

化简得到，A（z）D（z）≡B（z）C（z），这与易知假设条件矛盾。……