徐 畅 李泳澍

（1.重庆邮电大学 重庆南岸 400065；2.济南大学 山东济南 250022）

一、供水问题的提出

某村位于我国西南地区，平均年降水量不足20mm，是典型的缺水地区。过去村民的用水、依赖蓄水池和村中现有的四口水井。由于近年天气原因，蓄水池的功能完全丧失。而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量逐渐减少。2009年以来，水井的产水量远远不能满足需要。为此，政府打算着手解决该问题。从两方面考虑，一是在该村附近又找到了8个可供打井的位置。二是通过铺设管道的办法从相隔20公里外的地方把河水引进该村。

可供打井位置共有8处，每处打井的费用和预计的年产水量不同。二是铺设管道，其费用为P=0.66Q0.51L（万元）。其中，Q表示每年的可供水量。从开工到完成需要三年时间，且要求完成之后，每年至少能提供100万吨的水。

要求从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村的打井和铺设管道。为了保证该村从2010到2014年，每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，以此做出规划。

现有各水井在近几年的产水量（万吨）

8个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）

二、模型的建立与求解

假设若只挖井不铺设管道，并且前三年的供水量恰好满足需水量。这样可使后面几年水的流失量减少，可近似实现最大供水的情况。通过计算发现，在这种情况下无法满足第五年的需水量。因此必须铺设管道。

（一）灰色预测模型

整体的供水量一部分来源于原水井的供水量。原水井的供水量大致呈下降趋势，我们通过建立灰色预测模型，得出未来5年原水井供水量的值，为后面问题的解决做出铺垫。下面以一号水井建立模型，通过原一号水井的产水量表，可建立出该井产水量时间序列如下：

q（0）=(q（0）(1)，q（0）(2)，q（0）(3)，q（0）(4)，q（0）(5)，q（0）(6)，q（0）(7)，q（0）(8)，q（0）(9))=（32.2，31.3，29.7，28.6，27.5，26.1，25.3，23.7，22.7）

同理预测出四口井在2010至2014的产水量如表1所示：

表1 2010年至2014原四口井的产水量

（二）打井和铺设管道计划

管道从开始铺设和到完工通水需要三年的时间，既需要打井满足需水量，又要最大可能地节约资金。在节约资金的前提下，在哪年打井，在什么位置打井成了问题的关键。已知在2010年时，原四口水井的产水量已经不能满足需水量，因此第一年必须打井。以打井的年份为标准，我们设计出了四种优化方案，即2010至2012年每年都打井、2010和2011年打井、2010和2012年打井、仅2010打井，为一二三四方案。之后进行方案求解，以一为例，其他同理可得。

若每年都打井，应先打产水量小的井，否则将会造成后面几年过多的水量的流失。要使三年的花费最小，则需要每年的花费都最小。设方案一花费的目标函数为：

利用MATLAB求解得x2=1,其余为0。第三年只打一个井，费用为6万。将这三年所用费用相加，即得到第一种方案的总花费：M11=19+5+6=31万。

同理求得四种方案所花总费用以及每年的出水量如表4所示：

表4 四种方案所花总费用以及每年的出水量

四种方案具体的打井计划如表5所示：

表5 四种方案具体的打井计划

利用铺设管道的方程 (万元)，得到每种方案每年铺设管道的费用和长度如表6所示：

表6 每种方案每年铺设管道的费用和长度

进而我们得到：

表7 四种方案的三年总水量及总开销

在节约资金的前提下，我们可得出花费最少且满足约束条件的方案为方案一、方案二、方案三。在花费最少的情况下，我们以三年总水量最多为最优方案，方案四。第一年打井3、5、6、8号，挖管道5.9325公里，花费60万；第二年打井1号，挖管道7.9583公里，花费60万；第三年打井2号，挖管道2.2219公里，完成目标，花费50万；总花费170万，节省10万。