夏利猛 赵珊珊

摘要： 有限維Balinsky-Novikov 超代数可以看作是Novikov 代数的一类超模拟， 其仿射化给出了一类重要的无限维李超代数. 本文主要叙述了它们的一些性质， 并给出了实数域上有限维单Balinsky-Novikov 超代数的完全分类.

关键词： Balinsky-Novikov 超代数; Novikov 代数; 幂零; 分类

中图分类号： O153.3文献标志码： ADOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.201911018

0 引言

Novikov 代数是一种与李代数密切相关的代数， 它是Gelfand 和Dorfman 在研究形式变分算子中的Hamilton 算子[1] 时产生的. Novikov 也在有关流体力学型线性泊松括号[2] 中发现了相同的代数. 而最终Novikov 代数是由数学家Osborn 命名的[3]. Novikov 代数是一种特殊的预李代数， 或称为左对称代数， 出现在许多数学和物理学的文章中[4]. Zelmanov 对特征为0 的代数闭域上的所有有限维单Novikov 代数进行了分类[5]， 而对于特征大于2 的代数闭域， Osborn 和徐晓平也对其进行了分类[6-7]. 最近， Guediri 实现了它在R 上的分类[8]. 低维Novikov 代数的分类及相关问题也得到了广泛研究[9-12]. 我们要指出， Novikov 代数的仿射扩张是一种有趣的方法， 可以用来实现Virasoro 代数及其扩张[2，13-15].

Novikov 代数有两类本质上不同的超对称扩张： 一个是由Balinsky 介绍的Balinsky-Novikov 超代数[16]， 另一个是徐晓平介绍的Novikov 超代数[17]. 并且这两类代数均在可积系统和共形场理论中起着重要的作用， 所以对这些超代数的分类是非常重要和有必要的. 目前， 低维Novikov 超代数的分类已经取得了一些结果[18-19]. 最近， 刘东、裴玉峰以及本文第一作者[20] 对特征 的域上的所有有限维单Novikov 超代数进行了分类， 证明了每个Novikov 超代数都是平凡的， 这意味着Novikov 超代数没有新的单结构.

BN 超代数（即Balinsky-Novikov 超代数） 常……