由一道高考题感悟平面向量问题的常见解法

2020-07-22林娜

数理化解题研究 2020年19期

关键词：恒等式极化基底

林娜

(广东省中山市桂山中学 528463)

一、试题呈现

二、求解策略

解法1(基底法)

解法2 (坐标法)

分析已知图形是一个等边三角形，比较特殊，我们可以尝试建立坐标系，将向量的数量积运算坐标化，可以减少运算量.

点评解法2建立平面直角坐标系，先假设点P的坐标，然后将所求用坐标表示出来，将向量运算坐标化，极大地减少运算量，提高运算速度和准确率. 基底法和坐标法是解决平面向量问题的两个“法宝”，基底法和坐标法是以数助形的两种常用途径，两种方法本质相同. 在处理向量的问题时，若能建立坐标系的时，我们应该首选坐标法，若无法建系时，再去考虑基底法来处理.

解法3 (极化恒等式)

取AD中点E，由极化恒等式得

解法4( 向量三角化)

点评解法4根据向量数量积的定义a·b=|a||b|cos〈a,b〉联想到余弦定理，将向量问题三角化，最后也转化为求一条边的长度最小. 解法3和解法4两种解法最后归结的问题相同. 余弦定理和平行四边形的结论我们都可以利用向量来证明，两种解法本质是相同的.

解法5( 调整法即多次使用不等式)

思路2将点D投影到PA上，设投影为R，则

点评在解决双变量最值问题时，我们往往可以固定其中一个变量，让另一个变量变化，使用两次不等式，求得最值，最后需要验证两次等号能够同时取到. 解法5中的两个思路就是根据这个原理，思路1利用向量的正交分解，思路2利用数量积的投影的几何意义.

解法6(轨迹法)

所以问题转化为“圆周”与三角形区域有公共点，

三、解法反思

向量是既有方向又有大小的量，从向量的概念可以看出向量是沟通代数、几何、三角等的工具. 纵观近几年的高考试题，考查内容主要分为三部分：其一，考查平面向量的相关概念、公式与定理；其二，考查平面向量的基本运算；其三，考查平面向量的综合应用. 考查形式多以选择题、填空题为主，有时也融入到解答题中. 对于平面向量的综合应用考查，往往考查平面向量与三角函数、函数、不等式、解析几何、立体几何等内容的综合问题，考查学生综合应用知识解决问题的能力. 通过一题多解，可以让学生深入理解和体会向量的概念、线性运算、数量积运算及其几何意义，理解向量的两个“属性”.学生在一题多解的探究过程中，能够体会和感悟向量和其它知识的横向联系，并利用这种联系寻找解决问题的方法. 在高三复习备考过程中，应该多角度去引导和启发学生分析问题、思考问题和解决问题，从中感悟数学思想，提升数学素养.

四、变式训练

解法2 (坐标法)

设BC=2m. 以D为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则B(-m,0),C(m,0).

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