江西省南昌市铁路第一中学 (330002) 章建荣江西省南昌市第十五中学 (330039) 龙光鹏

函数是高中数学中重要的研究对象，函数的奇偶性、对称性等基本性质有着广泛的研究价值和运用价值.在高中人教版教材中介绍了用导数讨论函数的单调性、极值、最值等.但是对于函数的奇偶性和对称性没有给予讨论.那么原函数与导函数之间的对称性具有怎样的性质呢？本文通过几个相关定理，演绎运用导数和微积分知识研究原函数的奇偶性、对称性.与此同时，利用这些性质创编了一些相关试题加以应用.

为了本文的叙述方便，文中函数f(x)是函数F(x)的导函数，且F(x)与f(x)均为连续的初等函数.一般地，认为函数f(x)与F(x)的定义域为R.

1.奇偶性

命题1 若函数F(x)为奇函数，则f(x)为偶函数.

证：因为F(x)为奇函数，所以F(-x)=

-F(x)，等式两边分别求导得到-F′(-x)=

-F′(x)，则F′(-x)=F′(x)，即f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.

命题2 若函数F(x)为偶函数，则f(x)为奇函数.

证：因为F(x)为偶函数，所以F(-x)=F(x)，等式两边分别求导得到-F′(-x)=F′(x)，即

-f(-x)=f(x)，所以f(x)为奇函数.

命题3 若函数f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数.

命题4 若函数f(x)为偶函数，且F(0)=0，则F(x)为奇函数.

2.推广探究

命题5 若函数F(x)关于点(a,b)中心对称，则f(x)关于直线x=a轴对称.

证：因为函数F(x)关于点(a,b)中心对称，则F(x)+F(2a-x)=2b，等式两边进行求导得出F′(x)-F′(2a-x)=0，则F′(x)=F′(2a-x)，即f(x)=f(2a-x)，故f(x)关于直线x=a轴对称.

命题6 若函数F(x)关于直线x=a轴对称，则f(x)关于点(a,0)中心对称.

证：因为函数F(x)关于直线x=a轴对称，则F(x)=F(2a-x)，等式两边求导得出F′(x)=

-F′(2a-x)，则F′(x)+F′(2a-x)=0，即f(x)+f(2a-x)=0，所以f(x)关于点(a,0)中心对称.

命题7 若函数f(x)关于点(a,0)中心对称，则F(x)关于直线x=a轴对称.

命题8 若函数f(x)关于直线x=a轴对称，且F(a)=b，则F(x)关于点(a,b)中心对称.

3.命题举隅

例1 已知偶函数f(x)满足f(1)=2，f′(1)=1，则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为.

解析：因f(x)为偶函数，f(1)=2，所以f(-1)=2，则函数f′(x)为奇函数，又因为f′(1)=1，所以f′(-1)=-f′(1)=-1，则切线方程为x+y-1=0.

例2 已知函数f(x)满足，对任意的x∈R，都有f(-x)=-f(x)，且x≥0时，f′(x)>0，则( ).

A.当x<0时，xf′(x)>0

B.当x<0时，f(x)f′(x)<0

C.当x<0时，xf(x)<0

D.当x<0时，f(x)>f′(x)

解析:因为函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则函数f(x)为奇函数，则f′(x)为偶函数，又因为x∈R，则f(0)=0，又因为当x≥0时，f′(x)>0，则函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，则x>0时，f(x)>f(0)=0，则当x<0时，f(x)<0；当x<0时，f′(x)>0.故选B.

例3 已知偶函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)的图像关于点(1,2)对称，则f′(2)+f′(4)=.

解析:因为f(x)是R上的偶函数，则f′(x)为R上的奇函数，则f′(0)=0，又因为函数f(x)的图像关于点(1,2)对称，则函数f′(x)的图像关于直线x=1对称，则f′(2)=f′(0)=0，且f′(x)的周期为4，则f′(4)=f′(0)=0，则f′(2)+f′(4)=0.

例4 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=0，其导函数f′(x)满足f′(1-x)=f′(1+x)，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)=.

解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，又因为f(1)=0，导函数f′(x)满足f′(1-x)=f′(1+x)，则函数f(x)关于点(1,0)对称，则f(x)的周期为2，即f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)=0.

探究教材外的一些性质，并尝试编创一些试题，是非常有益的和必要的.同时，我们还应该引导学生自主或合作的方式进行类似的探究，有助于提升学生发现问题和解决问题的能力，有利于培养学生的学科核心素养.