福建省闽清县第一中学 (350800) 林 婷

福建省福州高新区第一中学 (350109) 张武生

反思是指自觉地对数学认知活动进行考察、分析、总结、评价、调节的过程，是学生调控学习的基础，是认知过程中强化自我意识、进行自我监控、自我调节的主要形式，是培养“四基”形成的有效途径.荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力.”实践表明，培养学生的反思能力不仅能促进学生主动学习、深度学习，提高学习效益，而且有利于提升学生的数学核心素养.以下笔者谈谈在教学实践中的几点思考，与同行探讨.

1.在概念教学中激发反思，从感性到感悟

数学概念是反映事物在数量关系和空间形式上的本质特征的思维形式，具有高度抽象性.学生要深刻理解这些概念，除了要引导学生积极参与概念的建构，还应该引导学生运用已有的知识、经验、方法对所学的概念进行反思，多问几个为什么.只有通过反思，才能深刻理解其内涵与外延，深化学生的知识建构，从感知到感悟，提升数学核心素养.

案例1 人教A版数学3“古典概型”概念教学片断

在讲授完“古典概型”概念后，教师可提出以下问题引导学生反思：

反思1：请看刚上课时提出的“游戏公平性问题”：一个口袋内装有编号为1的一个红球和编号2、3、4的三个白球，这四个球除颜色之外完全相同.甲乙两位同学做一个游戏：从袋中一次任意摸出2个球，若取到两个同色球，则甲胜，否则乙胜.大家认为这个“游戏公平性问题”是古典概型吗？为什么？

生1：“游戏公平性问题”是古典概型.基本事件有6个，是有限的；由于是“任取两个”，因此每个基本事件的发生也是等可能的.

反思2：如图1，向一个圆面内随机地投射一个点，若该点落在圆内任意一点都是等可能的，这是古典概型吗？为什么？

图1 图2

生2：不满足有限性，不是古典概型.因为基本事件是圆内任意一点，有无数个.

反思3：如图2，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：“命中10环”、“命中9环”、“命中8环”、“命中7环”、“命中6环”、“命中5环”和“不中环”.这是古典概型吗？为什么？

生3：不是古典概型，满足有限性，但不满足等可能性.比如“命中10环”与“不中环”就不是等可能的.

师：非常好！判断一个试验是否为古典概型，关键是看它的基本事件是否满足有限性与等可能性，二者缺一不可.

教师运用经典问题引导学生辨析、判断，巩固和深化对“古典概型”的理解，深化了学生的认知结构.在概念教学中，教师引导学生反思，有助于促进学生深度学习，揭示概念的本质特征，提升学生的直观想象、数学抽象、数学建模素养.

2.在问题的变式中引导反思，从感性到理性

培养学生的反思能力,就是要培养学生多角度分析问题、解决问题的能力.问题变式的解决有利于知识的正迁移，在课堂教学中，教师可通过一题多解、一题多变、多题一解的变式训练,让学生在由浅入深、多角度、多层次的问题情境中，通过对问题的多维分析,反思各种变式所共有的本质特征,揭示问题的条件与结论之间的内在联系及其蕴涵的规律，培养理性思维能力，提升数学核心素养.

图3

解决了本题后，师生共同归纳出题目与结论所包含的三个要素：(1)三个定点A、B、D；(2)三条动直线MN、AM、BN；(3)三个动点T、M、N.为了培养学生思维的灵活性，教师继续引导学生进行反思：

学生全身心地投入问题的反思中，有的学生反思解题过程，提出了如下问题：

教师设计思维含量高的问题，引导学生从“变”的现象中揭示“不变”的本质，从“不变”的本质中反思“变”的规律，达到了讲一题通一类的目的，有效地促进了学生深度学习，提升了学生的数学运算、逻辑推理等核心素养.

3.在讲评课中落实反思，从肤浅到深刻

现代建构主义理论认为：数学学习不是一种“授予—吸收”的过程，而是学习者主动的建构活动.对平时学习上的易错问题，尽管教师反复讲评，对学生还是于事无补，以后仍“旧病复发”.其主要原因是这种平铺直叙的讲评往往使得有错误的学生没有弄清问题的实质，而处于一种“浅认识”的阶段，无法留下深刻的印象.因此在课堂教学中，教师要善于创设“有意错误”情境，让学生尝试错误，引导其反思，自我发现思维中存在的矛盾，自我纠错.这样有助于学生跨越学习高原，积累数学活动经验，实现思维升华，提升数学核心素养.

B.周期为π的偶函数

D.周期为π的非奇非偶函数

这是我校高三单元考的一道试题，得分率极低.学生有以下两种错解.

教师没有直接指出错因，而是引导学生反思.通过反思，学生认识到定义域会影响函数的奇偶性，也会影响函数的周期性.函数f(x)的图象如图4所示，周期应该是π，故选D.

图4

师：函数的定义域是函数三要素之一，忽视函数的定义域易导致解题失误.

为了使学生有效克服知识理解上的偏差，教师进一步引导学生反思.

反思：忽视函数的定义域可能导致哪些错误？

利用学生的错解作为反面教材，对已完成的思维过程进行批判性的思考，反思自我思维症结和认知缺陷，并通过思维对比，豁然贯通某个关节点，能有效地培养学生思维的严谨性与批判性，提高自我监控能力，促进深度学习，提升数学运算、逻辑推理等数学核心素养.

4.在单元复习中增强反思，从经验到素养

单元复习是数学课堂教学不可或缺的一个环节.学生对知识的理解，需要通过复习得以巩固.反思能挖掘知识之间的内在联系，促进知识的同化和迁移.因此培养学生的单元反思习惯是促进学生深度学习、提升学生核心素养的保证.

在单元复习中，教师要引导学生将本单元的概念、定理、公式、法则进行总结，构建本章的知识网络；引导学生揭示相似概念、定理、公式之间的不同结构与本质区别；引导学生对做错的作业、测试题进行反思，并且有针对性地设计、设疑练习、改错练习.

同时，教师还应引导学生反思如下问题：⑴本单元所学的知识与以前的知识有哪些联系？⑵本单元解决了哪些问题？这些问题是如何产生的？用了什么样的研究方法？⑶本单元学习了哪些数学思想方法？

让学生在学完一个单元之后，为学生搭建一个交流思想与理念的平台，能促进学生的深度思考，使学习收到“书越读越薄，概念越学越清，知识越来越精”的功效.

毋容置疑，学生反思能力的培养不可能是朝夕之功，而是长期地、持久地逐渐提升的.因此教学必须给学生留下反思的时空，使学生通过反思超越认知层面，产生对自我数学认知的再认知，从而促进深度学习，让数学核心素养落地生根.